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2. 二阶线性微分方程
常微分方程初步
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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二阶线性微分方程
二阶线性微分方程的标准形式: \[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]其中$p(x),q(x),f(x)$在某区间上连续。对应的齐次方程为 \[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \] 一般来说,方程的解不是唯一的,通常会包含两个独立的任意常数。定理 1. (二阶线性定解问题的解的存在唯一性) $p(x), q(x), f(x)$在$(a,b)$上连续,$x_0\in(a,b)$为一定点,$y_0, y_1$为给定的实数。则 初值问题 \[\begin{cases} y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x) \\ y(x_0)=y_0 \\ y'(x_0)=y_1 \end{cases} \]在$x_0$的邻域内存在唯一的解$y(x)$。 特别,当$f(x)\equiv0$,$x_0=x_1=0$时,解为$y=0$。 证明超出范围。 二阶线性微分方程解的结构定理 2. 若$y_1(x)$, $y_2(x)$是齐次方程 \[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]的解,$c_1$, $c_2$是任意常数,则$y_1(x)$与$y_2(x)$的线性组合 \[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) \]也是齐次方程的解。 定理 3. 若$y_1(x)$, $y_2(x)$是非齐次方程的两个解,则$y_1(x)-y_2(x)$是齐次方程的解。 若$y_0(x)$是非齐次方程的两个解,则$y(x)$是齐次方程的解,则$\tilde y(x)=y_0(x)+y(x)$仍然是非齐次方程的解。 从这两个定理可以知道,求出非齐次方程的一个解(称为特解)和齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。 如何给出二阶齐次方程的通解?需要引入一些概念 定义 1. (线性相关与线性无关) 设函数$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$在区间$I$上有定义。 如果存在一组不全为0的常数$c_1$, $c_2$,使得线性组合 \[c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)\equiv0,\forall x\in I \]则称函数$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$在区间$I$上线性相关;否则,称它们在区间$I$上线性无关。 定理 4. (线性相关的必要条件) 函数$y_1(x)$, $y_2(x)$在区间$I$上可导,且线性相关,则有 \[y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)\equiv0, \forall x\in(a,b) \]定义 2. (朗斯基 (Wronski)行列式) 函数$y_1(x)$, $y_2(x)$在区间$I$上可导, \[W[y_1,y_2](x)=\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\ y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right| =y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x) \]称为$y_1(x)$与$y_2(x)$的朗斯基 (Wronski)行列式 朗斯基 (Wronski)行列式为$0$是线性相关的必要条件,而不是充分条件。 例 1. $ y_1(x)=\begin{cases} x^2, & x>0 \\ 0, & x\leq 0\end{cases} $与$y_2(x)=\begin{cases} 0, & >0 \\ x^2, &x\leq 0\end{cases}$ 解. $x>0$时, $\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right|$ $=\left|\begin{aligned} x^2 & & 0 \\2x & & 0 \end{aligned}\right|=0$ $x |
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