《微积分B》课程微分学部分的“单调性与极值”和“凹凸性与拐点”这两节都属于“函数的微分性质应用”。上一篇讲到“洛必达法则”是用“降维”的方法来求不定式的极限，而这两节同样使用“降维”（求导）的方法来分析函数的性质。

注：关于“降维”，我有一个联想。微积分中的降维就是求导，而在其他领域也有“降维”，比如“将球体投影为平面上的圆”，“将复信号投影到x-t平面，研究幅度变化图”等等。

一、要点简述

1，函数的单调性

    引入“导数”的概念后，函数的单调性除了用“单调性的定义”来判断（对于有些函数不太方便，比如隐函数、复杂的三角函数），还可以借助“导函数”来判断原函数的单调性。

    定理（严格单调的充分必要条件）：若函数f(x)在[a, b]上连续、在(a, b)上可导，则f(x)在[a, b]上严格单增的充分必要条件是：f'(x) >= 0且f'(x)在[a, b]的任意子区间上不恒为零。

    简单来说，导数为零的点不能连成一个区间。

2， 极值

    极值点的充分条件（判断法）：

    （一阶导数形式）：若函数f(x)可导，且f'(x)在x0的两侧异号，则x0是f(x)的极值点。

    （二阶导数形式）：若函数f(x)在x0处具有二阶导数，且f'(x0)=0，则当f''(x0) > 0时，f(x0)是函数f(x)的极小值；当f''(x0) < 0时，f(x0)是函数f(x)的极大值。

注：

    一阶导数形式的定理应用更广，它实际上可以不要求f'(x)在x0这一点可导，比如“f(x) = |x|”在 x = 0处导数不存在，但是它在这一点左右的导数存在，且异号，故它是极值点。

    二阶导师形式中的二阶导数的正负号与极大/极小的关系，可以借助 f(x) = x ** 2 来记忆，f'(0) = 0 , f''(0) = 2 > 0，它是极小值。

3，凸性

    关于凸性，用函数图形来表示会比较清晰。

    如上图所示，y = x ** 3这条曲线（绿色），在区间[2, 10]内，它的割线（红色）位于它的上方。这就是直观的“上凸”。

    充要条件：（黄色割线的斜率大于蓝色割线的斜率）

f(x)在区间[a, b]下凸