如果对一个可观测的预期有效指数，期望收益-贝塔关系存在，则任何证券的期望收益都可以表达为

其中，。

检测遵循三个步骤：建立样本数据、估计证券特征线（SCL）、估计证券市场线（SML）。

建立样本数据

估计证券特征线

对于每一种股票，将一阶回归（first-pass regression）方程的斜率作为贝塔值的估计值。

使用以下统计量进行分析：

每种股票超额收益的样本均值和市场指数超额收益的样本均值用来估计预期超额收益，作为每种股票真实贝塔系数的估计值，用于估计每种股票的非系统风险。

估计证券市场线

根据如下二阶回归方程估计出和，其中一阶回归的估计值作为自变量

如果CAPM有效的话，那么和应该满足：

进一步分析，我们发现，证券市场线描述的期望收益-贝塔关系的一个主要特征是证券的超额收益率仅与系统风险（用贝塔值衡量）有关，而与非系统风险无关（用一阶回归中的估计值衡量）。这些估计值导入式中，作为扩展的证券市场线中的变量：

二阶回归方程假设检验如下：

这一假设意味着非系统风险没有被定价，即非系统风险没有带来风险溢价。总的来说根据CAPM模型，风险溢价只与贝塔值有关。除贝塔外其他变量的系数都应该为。

学者采用的两阶段回归方法（首先使用时间序列数据回归估计证券的贝塔值，再用这些贝塔值检验SML中风险与平均收益率之间的关系），其结果是不支持CAPM模型的。

检验的有效性也令人担忧。首先，检验中使用的市场指数并不是CAPM模型中所指的“市场投资组合”。其次，鉴于资产的波动性，一阶回归得到的证券贝塔值有较大的抽样误差，因此不能直接作为二阶回归中的输入值。最后，投资者并不能以无风险利率融资，与简单CAPM模型假设不一致。

即使真实的市场投资组合是非有效的，该代理变量也可能是均值-方差有效的。反之，代理变量也可能是无效的。但就这一点显然不能说明真实市场投资组合的有效性。此外，无论代理变量是否均值-方差有效，大多合理的代理变量互相之间及与真实市场投资组合之间都可能存在着高度相关性。这种高度相关性会使市场投资组合的确切构成显得不那么重要，但是不同的代理变量导致的结论却大不相同。这个问题被称为基准误差（benchmark error），是指理论检验中使用了错误的基准（市场代理变量）。

有些检验拒绝了平均收益率与贝塔之间的正相关，说明了检验中市场代理变量的非有效性，而并非推翻了理论上的期望收益-贝塔关系。如果CAPM是正确的，即使是高度分散化的资产组合（如所有样本股票的价值加权或等加权组合），也不一定有显著的均值收益-贝塔关系。

如果回归中使用的市场指数有效，那么检验非常明确，但如果代理市场投资组合无效，对CAPM模型的检验效果也将非常糟糕。因此，缺乏合理的有效市场代理变量，我们将无法对模型进行有效检验。不幸的是，我们很难知晓市场指数的有效性，所以也无法辨别检验的好坏。无法直接检验CAPM，我们可以检验有同样均值-贝塔方程（证券市场线）的APT模型。这个模型仅取决于指数组合的多元化程度。而选择多种市场指数能让我们将SML应用于选中的指数分别进行检验。

加入回归等式右边变量的测量存在误差（在此，贝塔测量有误差且位于二阶回归式的右边），那么回归等式斜率的系数将会向下偏差，截距项向上偏差。这也与实证结果（估计的比CAPM模型的预测值要高，估计的则偏低）一致。

通过证券组合分散并消除了大部分公司效应，从而提高了贝塔估计和资产组合期望收益的精确性。这样也就减轻了由于贝塔估计的测量误差而导致的统计问题。

使用分散化组合而非单个证券让APT检验更加完善。

须构建一个使贝塔系数尽可能分散的资产组合。

多因子SML的市场风险因子：（1）对冲重要消费集合（房屋或能源）价格不确定性或一般通货膨胀的因子；（2）对冲未来投资机会的因子（利率或者市场风险溢价）；（3）对冲资产从市场指数中缺失资产的因子（劳动力收入或私人经营）。

如果有大量对冲需求，这些市场外风险源将带来风险溢价

劳动力价值为正贝塔的股票将会更多出现在风险因子中。

资产相对于价值加权股票市场指数的标准贝塔。资产相对于劳动力增长的贝塔。资产相对于商业周期变量的贝塔。进行二阶回归，模型中包含了公司规模（股权的市场价值ME）：

结论：首先证券贝塔有条件的一阶回归估计存在很大缺陷，因为其没有完全考虑股票收益的周期性，因此不能准确地衡量股票的系统风险。其次，人力资本在任何版本的CAPM中都将是重要的，可以更好地解释证券的系统风险。

我们预期私有企业主会减少那些与他们特定企业收入正相关的交易性证券。如果这种效应足够重要，对交易性证券的总需求将受到这些证券与非公司商业总收入的协方差的影响。那些与非公司业务收入协方差高的证券，其风险溢价也会更高。

在私营业务上具有更高投资的家庭会减少对股权资产的投资比例。

模型加入了私营业务收入的变化率。该变量系数显著且改善了回归的解释能力。此时，市场收益率同样不能解释个别证券的收益率，因此CAPM模型的含义仍被拒绝。

多因素模型的检验包括三个步骤：

宏观因素模型 代理系统因素的可能变量：

IP——工业生产增长率；

EI——通货膨胀的预期变化，由短期国库券利率的变化测量；

UI——非预期的通货膨胀，为实际通货膨胀和预期通货膨胀之差；

CG——风险溢价的非预期变化，由Baa级公司债和长期政府债券的收益率之差测量；

GB——期限溢价的非预期变化，由长期和短期政府债券的收益率之差测量。

对每个资产组合使用如下的回归：

其中，是指股票市场指数。使用了两个代理变量：价值加权的纽约证券交易所指数（VMNY）和等权重的纽约证券交易所指数（EWNY）。

将一阶回归估计的因素贝塔作为二阶回归的解释变量：

其中，是对因素风险溢价的估计。

工业生产（IP）、公司债券风险溢价（CG）以及未预期的通货膨胀（UI）都有着显著的解释能力。

法玛-弗伦奇模型中的系统风险因素有公司规模、账面-市值比（B/M）以及市场指数。这些额外因素的加入是基于经验观察的，小公司股票和具有较高股权账面-市值比（B/M）的股票的历史平均收益率一般要高于CAPM模型证券市场线的预测值。

规模大小带来的效果或许可以替代ICAPM对未来投资机会衰退更加敏感资产的风险溢价效用。

法玛和弗伦奇的创新是量化了规模风险溢价。首先确定纽约证券交易所中规模位于中位数的股票。使用中位区分所有交易的美国股票是大还是小的判断指标，并从大市值中创建组合，从小市值中创建另一个组合。最后，每个组合都进行价值加权和分散化。

通过做多小公司、做空大公司构建净头寸为0的规模因素组合。这个组合的收益叫作SMB（小公司减大公司），是小公司股票收益与大公司股票收益的差值。如果用价格衡量，那么这个组合将会拥有风险溢价。因为SMB实际上被充分分散。

将股票按照规模和账面市值比进行两次划分，并将美国投资者账户内股票按照账面市值比分为三组：下层（低），中间（中等）和上层（高）。现在基于规模和账面市值比两因素并考虑交叉组合形成六个组合：小市值/低比值，小市值/中比值，小市值/高比值，大市值/低比值，大市值/中比值，大市值/高比值。每个组合均价值加权。大市值和小市值组合收益为：

高比值和低比值组合收益为：

零头寸因素组合SMB、HML由以下组合构建出：

我们通过从股票超额收益，市场指数超额收益以及RSMB和RHML的一阶回归中估算因素贝塔来衡量单个股票对因素的敏感性。这些因素贝塔应该作为一个整体来预测总风险溢价。三因素资产定价模型是：

其中，系数、和分别是三个因素的股票贝塔，也被称为因子载荷。根据套利定价模型，如果这些是唯一的风险因素，则由于这些因素载荷，所有资产的超额收益都应由风险溢价充分解释。换句话说，如果这些因素完全解释了资产收益，则方程的截距应为零。

HML和SMB组合的收益与宏观经济的未来走势正相关，从而可作为商业周期风险的代理变量。因此，规模和价值溢价中至少有部分可以反映成是对更高风险敞口的合理补偿。

如果市场风险溢价高时，股票的贝塔值也高，那么这种正向联系会导致股票风险溢价中“协同效应”，这是股票贝塔和市场风险溢价共同作用的结果。

价值型公司（具有高账面-市值比）平均会有更多的有形资产。在跌市中投资者会因经济压力更高并变得更加不安，此时市场风险溢价会更高。这两方面结合起来可能导致了高B/M公司的贝塔和市场风险溢价的正向联系。

为了量化这些概念，将贝塔和市场风险溢价都设置为一组“状态变量”，即能反映经济状态的变量：

DIV——市场股利收益率；

DEFLT——公司债违约利差（Baa~Aaa级利率）；

TERM——期限结构利差（10年期~1年期国库券利率）；

TB——1个月国库券利率。

在进行一阶回归时，将这些状态变量替代贝塔，具体形式如下：

先估计参数到，再将这些参数和每期四个状态变量的值拟合出贝塔值，从而估计出每期的贝塔值。

类似地，能用相同的状态变量估计出随时间变化的市场风险溢价：

我们能使用回归参数和每期的状态变量值估计出每期的市场风险溢价，回归的拟合值就是市场风险溢价的估计值。

HML组合的贝塔在经济形式好时为负，意味着价值型股票（高账面-市值比）的贝塔要小于增长性股票（低账面-市值比）的贝塔，当在经济衰退时会出现相反的情况。虽然HML的贝塔和市场风险溢价的协方差本身还不足以解释价值型组合的平均收益溢价，但至少有一部分风险溢价是理性的。

在争论的另一方，学者认为价值型溢价说明了市场的非理性。争论的本质在于分析员倾向于将近期表现延伸到未来，从而夸大了具有较好近期表现的公司的价值。当市场意识到这个错误时，这些公司股票的价格就会出现下跌。因此，平均来说，“魅力股”，即近期表现良好、价格高且账面-市值比低的股票的表现一般差于“价值股”，因为对于账面-市值比低的公司来说，高价格意味着投资者过于乐观。

股票较好或较坏的表现会持续几个月，类似于动量的特性。将这种动量效应加入到三因素模型中，并以该模型来评估共同基金的业绩。因子以同样的方式构建，显示为WML（赢家减去输家）。因子基于过去1~12个月收益选取赢家/输家。发现许多共同基金的值都可以通过因子载荷和对市场动量的敏感性来解释。原始的法玛-弗伦奇三因素模型增加一个动量因素就是常用的四因素模型，该模型常被用来评估股票组合的异常表现。

流动性成本和流动性风险这两个因素都很难观测，且它们对均衡收益率的影响也很难估计。

测量流动性的方法（更准确地说是测量非流动性的方法）主要关注价格影响的大小：出售方为了完成一笔高额交易需要做出多大的价格让步，或者相反地，购买方为了大量买入资产需要提供多大的溢价。

常用的方法来测量非流动性，即寻找价格出现逆转的证据，尤其大宗交易时。逆转意味着一部分初始价格变化是由于交易发起者为了在一定时间范围内完成交易而做出的几个让步（提高买价或降低售价）。通过回归分析发现，成交量越高，价格逆转的程度越大——如果部分的价格变化是流动性现象，那么出现这种结果就符合人们的预期。对滞后的收益和成交量进行一劫回归，成交量的系数测量了高成交量的股票价格出现较高逆转的倾向。

另一个非流动性的测量方法，同样是关注与大宗交易和价格运动的联系。具体表述如下：

该测量方法是基于单位美元交易对股价的影响，可用来估计流动性成本和流动性风险。

使用每笔交易（trade-by-trade）数据设计出了流动性测量方法。价格冲击（非流动性成本的主要组成部分）是由信息不对称导致的。通过回归分析证实了信息因素导致了部分的价格冲击。公司的流动性会随着信息激励交易的普遍性的变化而变化，导致了流动性风险。

任意一种流动性的测量方法都可以对股票进行平均得到市场整体的非流动性。给定市场的非流动性，就能测量任意股票的“流动性贝塔”（股票收益率对市场流动性变化的敏感度），并估计流动性风险对期望收益的影响。如果具有流动性贝塔高的股票具有较高的平均收益率，则流动性是“被定价的因素”，即流动性暴露能提供更高的期望收益率以补偿风险。

流动性风险实际上是一个被定价的因素，且与之相关的风险啊溢价在数量上是显著的。

四因子模型计算出的对于流动性的影响（也控制住动量）并且获得了同样的结论，认为流动性风险因素也许正是动量策略显著盈利的原因。

股票的收益率还取决于一些其他流动性贝塔：股票的非流动性相对于市场非流动性的敏感程度、股票收益率相对于市场非流动性的敏感程度，以及股票非流动性相对于市场收益率的敏感程度。传统的CAPM模型中加入这些流动性效应能提高模型对资产期望收益率的解释能力。

在美国风险资产的超额收益率太高以至其超出了经济理论和合理的风险厌恶系数所能解释的范围。这种现象也被称为“股权溢价之谜”。关于股权溢价之谜的争论表明对市场风险溢价的预期要低于其历史平均水平。

消费模型认为影响投资者决策的不是他们财富本身，而是其一生的消费流。比财富更好的福利的测度是财富所能提供的消费流。

给定这个框架，基本CAPM的一般化形式就是用证券收益与总消费的协方差来衡量证券风险，而非证券收益与市场收益率（财富的测量）的协方差。因此，我们预期市场指数风险溢价与如下协方差相关：

其中，是风险厌恶系数的均值；是消费-跟踪证券组合（与总消费增长率的相关性最高）的收益率。

首先，使用消费-跟踪证券组合而非消费增长本身。总消费数据（低频）仅被用来构建消费-跟踪证券组合，这些组合的高频和精确的收益数据被用于资产定价模型的估计。账面-市值比较高的公司其消费贝塔越高，规模较高的公司其消费贝塔越低。这意味着法玛-弗伦奇因素对平均收益的解释能力事实上能反映资产组合的消费风险。

此外，标准的CCAPM模型考察的是代表性消费者或投资者，忽略了投资者拥有不同财富和消费习惯的异质信息。

在增长率不变的DDM模型中，股票的预期资本利得率等于股利增长率。因此，股票的预期总收益为股票利率与预期股利增长率之和：

其中，是年末股利；是股票的现行价格。将标准普尔500指数作为公司的代表，并估计。

期望收益率和已实现收益率的差别就等于股利增长率和资本利得率之差。在现代，资本利得率要比股利增长率大的多。因此，股权溢价之谜至少有一部分是由于现代未预期资本利得率所导致的。

使用美国股市的平均数据来估计期望收益率受生存偏差的制约，因为与许多其他国家不同，美国股市从为遭过关闭这种严重的问题。用最成功的资本市场的经验估计风险溢价，而忽视资本市场可能在样本期间关闭的事实，无疑会导致估计的期望收益率偏高。从美国股市中获得的偏高的已实现股价溢价或许无法表现出必要收益率。

可以通过放松一些假设来扩展标准的CAPM模型，并将观察到的超额收益考虑进去，特别是当消费者面临不能确保的特质收入冲击时，如失业。

生命周期模型中接待限制的考虑很重要。最后，将消费者的习惯信息加入到传统的效用函数，并发现这样能解释的风险溢价比通过股票收益和总消费增长的协方差估计的风险溢价更高。

非流动性溢价与市场风险溢价可能属于同一数量级。平均超额收益中有一部分是对流动性风险的补偿而不仅仅是对收益率波动性的补偿。

股权溢价之谜是由非理性的投资者行为导致的。窄框架是指投资者将他们面临的风险孤立地分析，因此，投资者忽视了股票组合风险和其他财富风险的弱相关性，从而要求的风险溢价也会比理性模型预期的要高。再加之对损失厌恶的考虑，尽管传统理论认为损失厌恶程度较低，但投资者的行为偏差的确会导致较高的风险溢价。