增量

​ 若f(x)在点x0的某个领域有定义，称 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y = {f ( x _ { 0 } + \Delta x )} - {f ( x _ { 0 } )} Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)为函数y=f(x)在x0处的增量。

导数（导数就是一个特殊的极限）

​ 导数的定义是Δx趋于0，而不能等于0，如sin(1/x)就有等于0的点，不能作为导数定义式。

（命题点）导数的等价定义：（极限存在才能=f’(a)，未说明则不能=） f ′ ( a ) = lim ⁡ x → 0 f ( a + x ) − f ( a ) a + x − x = lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = lim ⁡ x → a f ( x ) − f ( a ) x − a \begin{align} f'(a) & =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(a+x)-f(a)}{a+x-x} \\ & = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ & = \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{align} f′(a)​=x→0lim​a+x−xf(a+x)−f(a)​=h→0lim​hf(a+h)−f(a)​=x→alim​x−af(x)−f(a)​​​

​ 导数的定义是一个定点一个动点，而不能两个都是动点，如 f ( 2 x ) − f ( x ) 、 f ( x + k ) − f ( x − k ) f(2x)-f(x)、f(x+k)-f(x-k) f(2x)−f(x)、f(x+k)−f(x−k)都是两个动点，错误

可导的充要条件

​ 函数f(x)在x=x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等。若题目说明可导，则极限是存在的。

注解

可微

增量：Δy = f(x0+Δx) - f(x0)。

​ 若 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y = {f ( x _ { 0 } + \Delta x )} - {f ( x _ { 0 } )} = A \Delta x + o ( \Delta x ) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)=AΔx+o(Δx)，其中A是常数，则称y=f(x)在x=x0处可微。其中AΔx称为y=f(x)在x=x0处的微分，记为dy|x=x0= AΔx = Adx Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o ( Δ x ) = d y ∣ x = x 0 + o ( Δ x ) = A d x + o ( Δ x ) = d f ( x 0 ) + o ( Δ x ) = f ′ ( x 0 ) d x + o ( Δ x ) \begin{align} Δy & = f(x_0+Δx) - f(x_0) \\ & = AΔx + o(Δx) \\ & = dy|_{x=x_0} + o(Δx) \\ & = Adx + o(Δx) \\ & = df(x_0) + o(Δx)\\ & = f'(x_0)dx + o(Δx)\\ \end{align} Δy​=f(x0​+Δx)−f(x0​)=AΔx+o(Δx)=dy∣x=x0​​+o(Δx)=Adx+o(Δx)=df(x0​)+o(Δx)=f′(x0​)dx+o(Δx)​​

其他补充

导数与微分的关系（导数 不等于 微分）

【例题】2013数一

​ 连续不一定可导，可导必连续。连续函数某一点可能是尖的，那就不可导。经典反例f(x)=|x|在x=0这点。

可微 > = 可导 > 连续 > 可积 > 有界

证明 一阶可导 == 可微

导->微 ∵ lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( a ) ∴ Δ y Δ x = f ′ ( a ) + α   ( α → 0 , Δ x → 0 ) ∴ Δ y = f ′ ( a ) Δ x + α Δ x ∵ lim ⁡ Δ x → 0 α Δ x Δ x = 0 ∴ α Δ x = o ( Δ x ) ∴ Δ y = f ′ ( a ) Δ x + o ( Δ x ) \begin{aligned} & \because \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(a) \\ & \therefore \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(a) + \alpha \ (\alpha \rightarrow0,\Delta x \rightarrow0) \\ & \therefore \Delta y = f'(a) \Delta x + \alpha \Delta x \\ & \because \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\alpha \Delta x}{\Delta x} = 0 \\ & \therefore \alpha \Delta x = o(\Delta x) \\ & \therefore \Delta y = f'(a)\Delta x + o(\Delta x) \end{aligned} ​∵Δx→0lim​ΔxΔy​=f′(a)∴ΔxΔy​=f′(a)+α (α→0,Δx→0)∴Δy=f′(a)Δx+αΔx∵Δx→0lim​ΔxαΔx​=0∴αΔx=o(Δx)∴Δy=f′(a)Δx+o(Δx)​

微->导

f(x)可导不能得出f’(x)可导，不能得出f’(x)连续、不能得出lim f’(x)存在

​ 可导函数，导数不为0，根据介值定理知导数恒大于0或恒小于0，那么该函数单调。

证明可导性的一般步骤：先看连续不连续，不连续则必不可导；再看左右导数是否存在且相等，等则可导。注意：左右导数存在且相等，在x0点也未必可导，必须要加上连续这一条件，因为可能是跳跃间断点。

绝对值的可导性

​ 设函数f(x)在x=a处可导，则|f(x)|在x=a处的可导性如下：

若 f(a) !=0，则|f(x)|在x = a处可导

若 f(a) = 0，则当f’(a) = 0 时，|f(x)|在x=a可导；当f’(a) != 0时，|f(x)|在x = a处不可导

例子：f(x) = x 与 |f(x)| 在x = 0处的可导性

​ 一般只有一阶可导(只能保证一阶连续不能保证二阶连续)时不能洛（处处可导也不行），因为洛了之后有f’(x)，要确保lim f’(x)是存在的(但一阶可导不能得出lim f’(x)存在)；同理若二阶可导则可以洛一次，除非lim f’'(x)存在。即若n阶可导，至多导到n-1阶；若n阶连续可导即f(n)(x)为连续函数，最多可导到n阶。

问：为什么一阶可导不能得出lim f’(x)存在？

答：如 (sin 1/x)’ = -1/x2 cos 1/x，当x=1/nΠ 和 x=1/nΠ+0.5Π时，不等，因此极限不存在。

【例题】2018

​ 一阶导数连续不能推出二阶导数存在、二阶可导可推出一阶连续可导

洛必达使用条件：https://mp.weixin.qq.com/s/E0KoLNOnxKoyTQz8NENJhA

[例题]（这里二阶能不能洛还是有点疑问，二阶连续可导不就可以洛吗？还是说这个结论错了，是至多洛到二，但存在不存在还是未知？）

单调性

​ f’(x0) > 0 可推出 f(x0) 单调增(只是一点)，f(x0)单调增不能推出 f’(x0) >0，如x3在x=0处f’(0) = 0，但x3是单调增的。

​ f’(0) > 0， 根据导数的定义式，只能得出在存在δ，使得在（0，δ）中 f(x) > f(0)，在（-δ，0）中f(x) < f(0)，而不能证明在x=0附近单调增。即只能说明0+附近的值比f(0)大【可能振荡】，而不能说明附近的单调性。反例如下 令 f ( x ) = { x + 2 x 2 sin ⁡ 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0  则 x = 0 时 , f ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 x + 2 x 2 sin ⁡ 1 x x = 1 > 0 当 x ≠ 0 时 , f ′ ( x ) = 1 + 4 x  sin  1 x − 2 cos ⁡ 1 x f ′ ( 1 2 n π ) = − 1 < 0 \text {令} {f(x)}= \begin{cases}x+2x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq0\\0, & x=0\end{cases} \ 则\\ x=0 时, f^{\prime}(0)=\lim_{x \rightarrow0} \frac{x+2x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=1>0 \\ 当x \neq0时, f^{\prime}(x)=1+4x{\text { sin } \frac{1}{x}-2\cos \frac{1}{x}} \\ f^{\prime}\left(\frac{1}{2n \pi}\right)=-10当x=0时,f′(x)=1+4x sin x1​−2cosx1​f′(2nπ1​)=−10 推不出该点邻域单调增；因为导数在该点不一定是连续的，所以导数在邻域内可能存在负值，导致f(x)并非单调增。进一步可知f’‘(x) > 0 推不出 f(x)是凹函数，因为不能保证f’(x)是单调增。不能说明$ [\mathrm{f}(\mathrm{x}+2\Delta \mathrm{x})-\mathrm{f}(\mathrm{x}+\Delta \mathrm{x})] / \Delta \mathrm{x}>0$。

那么什么情况下才能得出单调增呢？

​ 设f’(x)>0，若f(x)存在二阶导数，则f’(x)连续，即f‘(x)在领域内均>0，可得出f(x)单调增的结论。【一点的导数 > 0 + 该点连续 推出 邻域均 > 0】

​ f(x)在x==k的邻域是凹函数 不能推出 f’'(x) >0，例如x4在x=0点的二阶导为0。

有界性

​ 若 f ( x ) ∈ C [ a , b ] {f(x)} \in C[a, b] f(x)∈C[a,b],则 f ( x ) {f(x)} f(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上一定有界

​ 若 f ( x ) ∈ C ( a , b ) {f(x)} \in C(a, b) f(x)∈C(a,b),则 f ( x ) {f(x)} f(x)在 ( a , b ) (a, b) (a,b)上不一定有界，如1/x

​ (命题点)若 f ( x ) ∈ C ( a , b ) {f(x)} \in C(a, b) f(x)∈C(a,b)，且f(a+)存在、f(b-)存在，则 f ( x ) {f(x)} f(x)在 ( a , b ) (a, b) (a,b)上一定有界

​ 若 f ′ ( x ) {f'(x)} f′(x)在有限区间内有界，则 f ( x ) {f(x)} f(x)在该区间内有界。反之不对如f(x)=x1/2

奇偶与周期性

周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在其一个周期上积分为0

若 f ( x ) {f(x)} f(x)为奇函数,则 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^x {f(t)} \mathrm{d} t ∫ax​f(t)dt为偶函数.若 f ( x ) {f(x)} f(x)为偶函数,则 ∫ 0 x f ( t ) d t \int_0^x {f(t)} \mathrm{d} t ∫0x​f(t)dt为奇函数.

(1) ( C ) ′ = 0 (C)^{\prime}=0 (C)′=0; (2) ( x α ) ′ = α x σ − 1 \left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha x^{\sigma-1} (xα)′=αxσ−1; (3) ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a \left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a (ax)′=axlna; (4) ( e x ) ′ = e x \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x} (ex)′=ex; (5) ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a \left(\log_{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} (loga​x)′=xlna1​; (6) ( ln ⁡ ∣ x ∣ ) ′ = 1 x (\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x} (ln∣x∣)′=x1​; (7) ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x (\sin x)^{\prime}=\cos x (sinx)′=cosx; (8) ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x (\cos x)^{\prime}=-\sin x (cosx)′=−sinx; (9) ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x (\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x (tanx)′=sec2x; ( 10 ) ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x (10)(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x (10)(cotx)′=−csc2x; ( 11 ) ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x (11)(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x (11)(secx)′=secxtanx; ( 12 ) ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x (12)(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x (12)(cscx)′=−cscxcotx; (13) ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (arcsinx)′=1−x2 ​1​; (14) ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (arccosx)′=−1−x2 ​1​; (15) ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} (arctanx)′=1+x21​; (16) ( arccot ⁡ x ) ′ = − 1 1 + x 2 (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} (arccotx)′=−1+x21​.

运算法则

( u v w ) ′ = ( u v w ) ′ = u ′ v w + u ( v w ) ′ = u ′ v w + u [ v ′ w + v w ′ ] = u ′ v w + u v ′ w + u v w ′ \begin{align} (uvw)'& = (u vw)' \\ & = u'vw + u(vw)' \\ & = u'vw + u[v'w + vw'] \\ & = u'vw + uv'w + uvw' \end{align} (uvw)′​=(uvw)′=u′vw+u(vw)′=u′vw+u[v′w+vw′]=u′vw+uv′w+uvw′​​

证明： ∵ g ′ ( x ) = lim ⁡ Δ u → 0 Δ u Δ x ≠ 0 ∴ Δ u = O ( Δ x ) ∵ f ′ ( u ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x ∵ d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ u ∗ Δ u Δ x = lim ⁡ Δ u → 0 Δ y Δ u ∗ lim ⁡ Δ x → 0 Δ u Δ x = f ′ ( u ) ∗ g ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ∗ g ′ ( x ) \begin{align} & \because g'(x) = \lim_{Δu \rightarrow0}\frac{Δu}{Δx}\neq0 \\ & \therefore Δu = O(Δx) \\ & \because f'(u) = \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{Δy}{Δx} \\ & \because \frac{dy}{dx} = \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{Δy}{Δx} = \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{Δy}{Δu}*\frac{Δu}{Δx} \\ & =\lim_{Δu \rightarrow0}\frac{Δy}{Δu}*\lim_{Δx \rightarrow0}\frac{Δu}{Δx} \\ & = f'(u) * g'(x) \\ & = f'(g(x))*g'(x) \end{align} ​∵g′(x)=Δu→0lim​ΔxΔu​=0∴Δu=O(Δx)∵f′(u)=Δx→0lim​ΔxΔy​∵dxdy​=Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​ΔuΔy​∗ΔxΔu​=Δu→0lim​ΔuΔy​∗Δx→0lim​ΔxΔu​=f′(u)∗g′(x)=f′(g(x))∗g′(x)​​

若内层函数不可导，整体函数不一定不可导。可以用定义判别

反函数定义

​ y=f(x)有反函数 则必须严格单调 【保证了反函数不会出现 一对多 的情况】

求导

证明：

1 ∵ f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x ≠ 0 ∴ g ′ ( y ) = lim ⁡ Δ y → 0 Δ x Δ y = lim ⁡ Δ x → 0 1 Δ y Δ x = Δ x Δ y = 1 f ′ ( x ) \begin{align} & \because f'(x) = \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{Δy}{Δx}\neq0 \\ & \therefore g'(y) = \lim_{Δy \rightarrow0}\frac{Δx}{Δy} = \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{1}{\frac{Δy}{Δx}} = \frac{Δx}{Δy} = \frac{1}{f'(x)} \end{align} ​∵f′(x)=Δx→0lim​ΔxΔy​=0∴g′(y)=Δy→0lim​ΔyΔx​=Δx→0lim​ΔxΔy​1​=ΔyΔx​=f′(x)1​​​ 2 φ ′ ′ ( y ) = d d x [ 1 f ′ ( x ) ] ⋅ d x d y = − f ′ ′ ( x ) [ f ′ ( x ) ] 2 ⋅ 1 f ′ ( x ) \varphi^{\prime \prime}(y)=\frac{d}{d x}\left[\frac{1}{f^{\prime}(x)}\right] \cdot \frac{d x}{d y}=-\frac{f^{\prime \prime}(x)}{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \cdot \frac{1}{f^{\prime}(x)} φ′′(y)=dxd​[f′(x)1​]⋅dydx​=−[f′(x)]2f′′(x)​⋅f′(x)1​

n阶导数公式 ( c a x + b ) ( n ) = c ( − 1 ) n n ! a n ( a x + b ) n + 1 ( c 为常数 ) (\frac{c}{ax+b})^{(n)} =\frac{c(-1)^nn!a^n}{(ax+b)^{n+1}} \quad (c为常数) (ax+bc​)(n)=(ax+b)n+1c(−1)nn!an​(c为常数)

n阶三角导数公式 sin ⁡ ( a x + b ) ( n ) = a n sin ⁡ ( a x + n π 2 ) cos ⁡ ( a + b x ) ( n ) = a n cos ⁡ ( a x + n π 2 ) \sin (ax+b)^{(n)} = a^n \sin (ax+\frac{n\pi}{2}) \quad \cos (a+bx)^{(n)} = a^n \cos (ax+\frac{n\pi}{2}) \quad sin(ax+b)(n)=ansin(ax+2nπ​)cos(a+bx)(n)=ancos(ax+2nπ​) 复合函数 ( u v ) ( n ) = C n 0 u ( n ) v + C n 1 u ( n − 1 ) v ( 1 ) + . . . . + C n n u v ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k ) (uv)^{(n)} = C_n^{0}u^{(n)}v + C_n^{1}u^{(n-1)}v^{(1)} + ....+ C_n^{n}uv^{(n)} = \sum^{n}_{k=0}C^k_nu^{(k)}v^{(n-k)} (uv)(n)=Cn0​u(n)v+Cn1​u(n−1)v(1)+....+Cnn​uv(n)=k=0∑n​Cnk​u(k)v(n−k)

泰勒级数

​ f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) x 0 n ! ( x − x 0 ) n f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n f(x)=∑n=0∞​n!f(n)x0​​(x−x0​)n

则n阶导数的次数是$a_n = \frac{f^{(n)}}{n!} $ ，对应x-x0的n次方

偶函数在0点的展开项只有偶次项、同理奇函数只有奇项

【例题】2016数一

归纳法

常见结论

x和y有关系，但是无法使用平时的y=f(x)进行表示，而是使用F(x,y)=0表示。

x确定了，y也是唯一确定的【函数的本质】

补充：

隐式方程：形同 f(x1,x2,…,xn) = 0 的关系，例如单位元方程x2+y2 -1 = 0

隐函数：由隐式方程所隐含定义的函数。

显函数：形如 y = sin x 【因变量在等号左边，含有自变量的式子在右边】。

隐式方程有时候可变为显函数，但有些隐函数改写成显函数非常困难或不可能

它是一个(数学上的)工具【把隐函数局部显示化】用来回答下面的问题：

​ 以隐函数表示的多变量函数，这函数的变量在局部上是否存在显式的关系？隐函数定理说明，对于一个由关系 f(x, y)=0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在这点有邻域使得在该邻域内 y 可以表示成关于 x 的函数。

参数方程和隐函数共存时直接用公式求4个参数更快

证明

​ 类似链式法则证明，略

选填：特殊函数法，符合的不一定对但不符合的一定错

lim 存在且分子为0，则分母lim也为0，若该函数连续则可取极限值f(x0)=0

利用导数的等价定义

可用的反例 |X|

题目说了可导，就是说极限存在了

熟练使用公式转换 u ( x ) v ( x ) = e v ( x ) l n u ( x ) u(x)^{v(x)} = e^{v(x)lnu(x)} u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)

显函数求导

根据导数定义拼凑等式

参数方程求导

分段函数求导

思想：凑成导数的定义式子、利用一些结论

注意：题目没说可导，而是要证明可导，不能直接洛必达

（命题点）整体存在局部未必存在。如lim 【fx± gy】 存在，不能得出fx、gy存在，因为不存在±不存在可能是存在。如lim(n±n)=0

抽象函数可导性判别

​ 需保证从多侧均趋于0，如f(1-cosx)只能趋于0+，必错

​ 可导+可导 =可导、可导+不可导=不可导

​ f(x)可导推不出|f(x)|可导，同理反之也推不出。如x，f(x)=±1,(x>0,x