泛函(functional)指以函數构成的向量空间为定義域,实数为值域为的「函數」,即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量,往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中,泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法,其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上,寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。
弧长泛函以可求長曲線组成的向量空间(
C
(
[
0
,
1
]
,
R
3
)
{\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})}
的一个子集)为定义域,以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。
黎曼积分是以从
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
到
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函。
设
S
{\displaystyle S\ }
是由一些函数構成的集合。所谓
S
{\displaystyle S\ }
上的泛函就是
S
{\displaystyle S\ }
上的一个实值函数。
S
{\displaystyle S\ }
称为该泛函的容许函数集。
函数的变换某种程度上是更一般的概念,参见算子。
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