西安毛子科技大学数学与统计学院School ofmathematics and statisticsXIDIAN UNIVERSITY高等数学第五节极限运算法则

第五节 极限运算法则

西安毛子科技大学极限运算法则XIDIAN UNIVERSITY一、极限的四则运算法则定理1 若lim f(x)= A,limg(x)=B，则有(1) lim[f(x)±g(x)= lim f(x)±lim g(x)= A±B;(2) lim[f(x)·g(x))= lim f(x)-limg(x) = AB;则(3)若又有B夫Alim f(x)f(x)limB lim g(x)g(x)

极限运算法则 一、极限的四则运算法则 定理1 若 则有 (1) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) f x g x f x g x A B  =  =  ； lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) f x g x f x g x A B  =  =  ； lim ( ) f x A = ，lim ( ) g x B = ， (2) (3) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) f x f x A g x g x B = = ． 若又有  B 0，则

西安毛子科技大学极限运算法则XIDIANUNIVERSIT证 因 lim f(x)= A,limg(x)=B，则有f(x)=A+α，g(x)=B+β，(其中α,β为无穷小)(1) [f(x)±g(x))=(A±B)+(α±β),此时 α±β是无穷小，因此 lim[f(x)±g(x))=A±B;(2) [f(x)·g(x)]=(A+α)(B+β)= A-B+ Aβ+Bα+αβ,此时Aβ，Bα，αβ都是无穷小，因此 lim[f(x)·g(x))=A·B

极限运算法则 证 因 (其中  ， 为无穷小) 此时 是无穷小， f x A ( ) = +  ，g x B ( ) = +  ， [ ( ) ( )] ( )+( ) f x g x A B  =     ， [ ( ) ( )] ( )( ) f x g x A B  = + +      A B    ， ， 都是无穷小， lim ( ) f x A = ，lim ( ) g x B = ， 则有 (1) 因此  =  lim[ ( ) ( )] f x g x A B； (2) =  + + + A B A B    ， 此时 因此  =  lim[ ( ) ( )] f x g x A B．

西安毛子科技大学极限运算法则XIDIAN UNIVERSITY定理2若limxn=A，limyn=B，则有(1) lim(x, ±yn)= A±B;n->a(2) lim(xn yn)= AB;(3）当y0(n=1,2,…)且B0时，lim=Bn-→0 Yn注可推广到有限个函数(数列)相加减，相乘的情形

极限运算法则 定理2 若 lim lim n n n n x A y B → → = = ， ， 则有 lim( ) n n n x y A B →  =  ； lim( ) n n n x y AB →  = ； 0 ( 1 2 ) 0 n 当 y n B  =  ， 且 时，lim n n n x A → y B = ． (1) (2) (3) 注 可推广到有限个函数(数列)相加减，相乘的情形

西安毛子科技大学极限运算法则XIDIANUNIVERSITY推论1 lim[cf(x)]=clim f(x)（c为常数)推论2 lim[f(x)]"=[limf(x)]"（n 为正整数)例1设n次多项式P(x)=a+ax++anx试证 lim P,(x)= P,(xo).x->x证 lim P,(x)=a +a, lim x+.+a,(lim x)"=ao +axo +...+a,x = P,(xo)

极限运算法则 推论1 lim[ ( )] lim ( ) c f x c f x = 推论2 lim[ ( )] [lim ( )] n n f x f x = 例1 设 n 次多项式 试证 0 0 lim ( ) ( ) n n x x P x P x → = ． 证 0 0 0 0 1 lim ( ) lim (lim )n n n x x x x x x P x a a x a x → → → = + + + 0 ( ) = + + + a a x a x 0 1 0 0 n n = P x n ． ( c 为常数 ) ( n 为正整数)