由于毫米波信道的方向性和稀疏性，收发机之间的信道矩阵可以表示为多径分量的叠加，其中不同多径分量有不同的分离角(AoDs)和到达角(AoAs)。

SV信道模型的时变信道响应： h ( t ) = ∑ l = 1 L a l e − j ψ l ( t ) δ ( t − τ l ) h(t)=\sum_{l=1}^L a_l e^{-j\psi_l(t) \delta(t-\tau_l)} h(t)=l=1∑L​al​e−jψl​(t)δ(t−τl​)

其中 a l a_l al​， ψ l \psi_l ψl​和 τ l \tau_l τl​分别表示第 l l l条多径分量的时变幅度、相位和延迟。

H ( t , f ) = N T N R L ∑ l = 1 L α l t , f e j 2 π ( v l t , f t − τ l t , f f ) × a r ( θ r , l t , f , ϕ r , l t , f ) a t H ( θ t , l t , f , ϕ t , l t , f ) \mathbf{H}(t,f)=\sqrt{\frac{N_\mathrm{T} N_\mathrm{R}}{L}}\sum_{l=1}^L \alpha_l^{t,f} e^{j2\pi (v_l^{t,f} t-\tau_l^{t,f} f)}\times \mathbf{a}_r(\theta_{r,l}^{t,f}, \phi_{r,l}^{t,f}) \mathbf{a}_t^\mathrm{H}(\theta_{t,l}^{t,f}, \phi_{t,l}^{t,f}) H(t,f)=LNT​NR​​ ​l=1∑L​αlt,f​ej2π(vlt,f​t−τlt,f​f)×ar​(θr,lt,f​,ϕr,lt,f​)atH​(θt,lt,f​,ϕt,lt,f​)

其中 L L L是多径的总数。对每条多径 L L L， α l t , f \alpha_l^{t,f} αlt,f​表示复增益系数，其中包括大尺度衰落和小尺度衰落。 θ r , l t , f , ϕ r , l t , f \theta_{r,l}^{t,f}, \phi_{r,l}^{t,f} θr,lt,f​,ϕr,lt,f​, θ t , l t , f , ϕ t , l t , f \theta_{t,l}^{t,f}, \phi_{t,l}^{t,f} θt,lt,f​,ϕt,lt,f​分别表示到达俯仰角(elevation angle of arrival), 到达方位角(azimuth angle of arrival) 和 分离俯仰角方位角。参数 τ l \tau_l τl​和 v l v_l vl​分别是第 l l l条多径的延迟和多普勒频移。 a r ( ⋅ ) \mathbf{a}_r(\cdot) ar​(⋅)和 a t ( ⋅ ) \mathbf{a}_t(\cdot) at​(⋅)分别是发射天线和接收天线的导向向量。

H ( f ) = N T N R L ∑ l = 1 L α l f e − j 2 π τ l f f × a r ( θ r , l f , ϕ r , l f ) a t H ( θ t , l f , ϕ t , l f ) \mathbf{H}(f)=\sqrt{\frac{N_\mathrm{T} N_\mathrm{R}}{L}}\sum_{l=1}^L \alpha_l^{f} e^{ -j2\pi\tau_l^{f} f}\times \mathbf{a}_r(\theta_{r,l}^{f}, \phi_{r,l}^{f}) \mathbf{a}_t^\mathrm{H}(\theta_{t,l}^{f}, \phi_{t,l}^{f}) H(f)=LNT​NR​​ ​l=1∑L​αlf​e−j2πτlf​f×ar​(θr,lf​,ϕr,lf​)atH​(θt,lf​,ϕt,lf​)

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \mathbf{H}&=\s…

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \mathbf{H}=\sq…

其中 l = 1 l=1 l=1代表通视路径，而 l > 1 l>1 l>1代表非通视路径（共 L N L o S − 1 L_\mathrm{NLoS}-1 LNLoS​−1条NLoS径）。如果存在通视路径，则 χ = 1 \chi=1 χ=1；否则， χ = 0 \chi=0 χ=0。

​ - LoS径的AoD由收发机相对位置确定，信道增益系数 λ 1 = 1 / ( 4 π f c ⋅ d α ) \lambda_1=1/(\frac{4\pi f}{c}\cdot d^\alpha) λ1​=1/(c4πf​⋅dα)是由距离和波长确定的常数。

​ - NLoS径的AoDs是随机变量，信道增益系数 λ l = σ f / ( 4 π f c ⋅ d α ) \lambda_l=\sigma_f/(\frac{4\pi f}{c}\cdot d^\alpha) λl​=σf​/(c4πf​⋅dα)，其中 σ f \sigma_f σf​是小尺度瑞利衰落因子。

a ( N , θ ) = [ 1 , e j π cos ⁡ θ , e j π 2 cos ⁡ θ , . . . , e j π cos ⁡ ( N − 1 ) θ ] T \mathbf{a}(N,\theta)=[1,e^{j\pi \cos \theta},e^{j\pi 2 \cos\theta},...,e^{j\pi \cos(N-1)\theta}]^\mathrm{T} a(N,θ)=[1,ejπcosθ,ejπ2cosθ,...,ejπcos(N−1)θ]T

通用信道响应向量[2]： h = ∑ l = 1 L λ l a ( N , θ l ) \mathbf{h}=\sum_{l=1}^{L}\lambda_l \mathbf{a}(N,\theta_{l}) h=l=1∑L​λl​a(N,θl​) 其中 λ l \lambda_l λl​是第 l l l条MPC的信道增益系数， θ l \theta_l θl​是第 l l l条MPC的导向角（令 θ l ˉ \bar{\theta_l} θl​ˉ​表示第 l l l条MPC的AoD，则 θ l = c o s ( θ l ˉ ) \theta_l=cos(\bar{\theta_l}) θl​=cos(θl​ˉ​)）， L L L是MPCs的总数。 a ( ⋅ ) \mathbf{a}(\cdot) a(⋅)是导向向量函数： a ( N , θ ) = [ 1 , e j π θ , e j π 2 θ , . . . , e j π ( N − 1 ) θ ] T \mathbf{a}(N,\theta)=[1,e^{j\pi \theta},e^{j\pi 2\theta},...,e^{j\pi (N-1)\theta}]^\mathrm{T} a(N,θ)=[1,ejπθ,ejπ2θ,...,ejπ(N−1)θ]T 取决于阵列的几何分布。

在无遮挡的情况下，通用信道响应可以重新表述为： h = λ 1 a ( N , θ 1 ) ⏟ LoS component + ∑ l = 2 L λ l a ( N , θ l ) ⏟ NLoS components \mathbf{h}=\underbrace{\lambda_1 \mathbf{a}(N,\theta_{1})}_{\text{LoS component}}+\underbrace{\sum_{l=2}^{L}\lambda_l \mathbf{a}(N,\theta_{l})}_{\text{NLoS components}} h=LoS component λ1​a(N,θ1​)​​+NLoS components l=2∑L​λl​a(N,θl​)​​

在有遮挡的情况下，通用信道响应可以重新表述为： h = ∑ l = 2 L λ l a ( N , θ l ) ⏟ NLoS components \mathbf{h}=\underbrace{\sum_{l=2}^{L}\lambda_l \mathbf{a}(N,\theta_{l})}_{\text{NLoS components}} h=NLoS components l=2∑L​λl​a(N,θl​)​​

方位角 ϕ \phi ϕ，仰角 θ \theta θ，对一个 M × N M\times N M×N-阵元的UPA，导向向量函数为 a ( M , N , θ , ϕ ) = [ 1 , . . . , e j π sin ⁡ θ [ ( m − 1 ) cos ⁡ ϕ + ( n − 1 ) sin ⁡ ϕ ] , . . . , j π sin ⁡ θ [ ( M − 1 ) cos ⁡ ϕ + ( N − 1 ) sin ⁡ ϕ ] ] T \mathbf{a}(M,N,\theta,\phi)=[1,...,e^{j\pi \sin\theta[(m-1)\cos \phi+ (n-1)\sin \phi]},...,^{j\pi \sin\theta[(M-1)\cos \phi+ (N-1)\sin \phi]}]^\mathrm{T} a(M,N,θ,ϕ)=[1,...,ejπsinθ[(m−1)cosϕ+(n−1)sinϕ],...,jπsinθ[(M−1)cosϕ+(N−1)sinϕ]]T 通用信道响应向量可以表述为： h = ∑ l = 1 L λ l a ( M , N , θ l , ϕ l ) \mathbf{h}=\sum_{l=1}^{L}\lambda_l \mathbf{a}(M,N,\theta_l,\phi_l) h=l=1∑L​λl​a(M,N,θl​,ϕl​)

Rician fading composed of a deterministic line-of-sight (LoS) path and spatially correlated non-Los (NLoS) path:

N根发天线，1根收天线

g = k k + 1 g ˉ + 1 k + 1 R 1 / 2 g ~ \mathbf{g}=\sqrt{\frac{k}{k+1}} \bar{\mathbf{g}} + \sqrt{\frac{1}{k+1}} \mathbf{R}^{1/2} \tilde{\mathbf{g}} g=k+1k​ ​gˉ​+k+11​ ​R1/2g~​

其中 k k k是莱斯系数， R ∈ C N × N \mathbf{R}\in \mathbb{C}^{N \times N} R∈CN×N是空间相关矩阵， g ˉ ∈ C N × 1 \bar{\mathbf{g}}\in \mathbb{C}^{N\times 1} gˉ​∈CN×1是确定性LoS分量， g ~ ∈ C N × 1 \tilde{\mathbf{g}}\in \mathbb{C}^{N\times 1} g~​∈CN×1是NLoS分量，其元素独立同分布于具有零均值和单位方差的复高斯随机变量。

G = k k + 1 G ˉ + 1 k + 1 R 1 / 2 G ~ \mathbf{G}=\sqrt{\frac{k}{k+1}} \bar{\mathbf{G}} + \sqrt{\frac{1}{k+1}} \mathbf{R}^{1/2} \tilde{\mathbf{G}} G=k+1k​ ​Gˉ+k+11​ ​R1/2G~

其中 k k k是莱斯系数， R ∈ C N × M \mathbf{R}\in \mathbb{C}^{N \times M} R∈CN×M是空间相关矩阵， G ˉ ∈ C N × M \bar{\mathbf{G}}\in \mathbb{C}^{N\times M} Gˉ∈CN×M是确定性LoS分量， G ~ ∈ C N × M \tilde{\mathbf{G}}\in \mathbb{C}^{N\times M} G~∈CN×M是NLoS分量，其元素独立同分布于具有零均值和单位方差的复高斯随机变量。

[1] Z. Xiao, L. Zhu, Y. Liu, P. Yi, R. Zhang, X.-G. Xia, and R. Schober, “A survey on millimeter-wave beamforming enabled UAV communications and networking,” arXiv Preprint arXiv:2104.09204, Submitted to IEEE Commun. Surveys Tuts., 2021.

[2] Z. Xiao, H. Dong, L. Bai, D. O. Wu and X. Xia, “Unmanned Aerial Vehicle Base Station (UAV-BS) Deployment With Millimeter-Wave Beamforming,” in IEEE Internet of Things Journal, vol. 7, no. 2, pp. 1336-1349, Feb. 2020.

[3] Jung, Minchae & Saad, Walid & Debbah, mérouane & Hong, Choong Seon. (2019). On the Optimality of Reconfigurable Intelligent Surfaces (RISs): Passive Beamforming, Modulation, and Resource Allocation.

[4] P. Wang, J. Fang, L. Dai and H. Li, “Joint Transceiver and Large Intelligent Surface Design for Massive MIMO mmWave Systems,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 20, no. 2, pp. 1052-1064, Feb. 2021.