希尔伯特变换(Hilbert Transform)的物理意义 |
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[版权声明:本文主要内容归功于以下两篇文章,链接如下:] https://blog.csdn.net/edogawachia/article/details/79366444 https://blog.csdn.net/weixin_41608328/article/details/89322214 Hilbert变换简介希尔伯特变换是信号处理中的一种常用手段,数学定义如下: 与卷积的概念进行对比,可以发现,上面的Hilbert变换的表达式实际上就是将原始信号和一个信号做卷积的结果。这个用来卷积的信号就是
对h(t)做傅里叶变换,可以得到:
下面这个示意图很直观地表示了Hilbert变换,这里画出了对原始信号做1到4次Hilbert变换的频谱示意图: 首先,可以看到,两次希尔伯特变换后,原信号相位翻转了180°,所以,Hilbert逆变换的公式显而易见,就是将正变换加一个符号即可。另外,还可以看到,Hilbert变换四次后就变回本身了。还有其它的性质,比如: 如果一个信号是两个信号的卷积,即
对于一个实随机过程 这个过程有一个最重要的特点,就是解析信号的功率谱只有正频段,强度为原来的四倍。或者说是只有正频段且幅度值为原来的两倍(幅度与功率之间还有一次平方转换关系):
欧拉公式: 可以看出,在正频率上和负频率上两者的相位上的先后顺序刚好相反,但是都是保持90°的差值。欧拉公式实际上是一种特殊的 Hilbert 变换。
复指数信号 首先,将实数信号变换成解析信号的结果就是,把一个一维的信号变成了二维复平面上的信号,复数的模和幅角代表了信号的幅度和相位,如图所示: 这样看来,似乎复数信号才是完整的,而实信号只是在复平面的实轴上的一个投影。我们知道,解析信号可以计算包络(瞬时振幅)和瞬时相位。在上图中可以看到,实际上我们计算的包络就是黑色的线围成的立体图形的边界在实部的投影,而计算这个边的投影也很简单,就是在复平面上的螺旋线中的每一个点的模值,也就是 |
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