关于三次方程求根通解 |
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关于三次方程求根通解
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@江国泉 感谢江国泉先生提出的这个问题，确实触及到了知识的盲区。 本人为北京市一名普通高级中学的学生，日常生活主要集中于课内及课内拓展知识的学习。同时，出于拓展知识的需要，乐于在知乎上关注各类言论和科普知识，交流想法，分享见闻。 首先问题来自于江国泉先生的一个评论，此评论我曾多次在他人和我的回答及文章下看到过。 下面将这一评论截图如下：  在这之后，我和我的部分同学讨论过这一问题，一些网友如 @PureWater 也发表了看法。 以下不是合理的解答，只是一些探索。并且由于只了解过卡尔达诺公式，对于伽罗瓦理论不涉及，只研究三次方程的求根公式。 卡尔达诺公式的推导证明我还是学过的。 卡尔达诺公式的推导证明：首先网站上的一些文章我都有查。把比较清晰明了的一篇链接如下： 下面的是我之前的笔记：   （第二张图片卡尔达诺公式判别式部分存在错误，△>0和△=0，则u，v皆为实数，求出来的根是没有问题的。 但是当△ 按照上面的分析，可见卡尔达诺判别式是成立的。 当△ 这个最好用。 三倍角的运算不难，但是如果进行逆运算就存在困难了。 以下是利用卡尔达诺公式开三等分角三角函数值的一个推导。   从这两幅图片来看，由于公式的形式，可能开出来的三角函数值还有可能是“三次根号下一个复数”，写成卡尔达诺公式的形式。 于是又回到最初的问题，还要再把这个复数的三次立方根开出来，陷入了死循环。 上面都是理论，实际的计算可以举例如下，就拿江国泉先生提问的那个cosα=1/7举例，下面是解方程的过程：  如图，解出来的根就是三次根号下还有一个复数。 此外还有可能涉及一个问题。 按照卡尔达诺公式，对一个单位复数的实部和虚部，即cos值和sin值都开三等分角后，分别得到三个值，如何进行配对？如果验算sinα^2+cosα^2=1，我认为是不太现实的。因为卡尔达诺公式的复杂性使计算两个数的平方极为困难。 我的想法就是根据有序实数对(cos3α,sin3α)，直接得到三组有序实数对（cosα,sinα）。但是我没有尝试求解这个问题。 综上，江国泉先生的质疑我认为不无道理。 会不会伽罗瓦理论结合卡尔达诺公式，只是在说可以用根式从形式上将三次方程解出，不一定化为最简的标准形式呢？ 以上只是我个人的想法，未必是正确的或者全面的，可能存在错误，希望网友教正。 ———————————————————————— 以上内容已整理为一个问题，并用自问自答的形式进行了补充。 欢迎前去回答及评论。 相关问题及回答链接如下： |
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