复数 是实数和虚数的组合：

实数是我们日常用的数.

例子：12.38、½、0、−2000

虚数的平方是个负数：

"单位"虚数的平方等于 −1

i2 = −1

例子：5i、−3.6i、i/2、500i

复数是实数和虚数的组合

例子：3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i

乘复数：

第一个复数的每一部分都乘以 第二个复数的每一部分

想："首、外、内、尾"（去二项式乘法查看更多）：

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

像这样：

再来一个例子：

用这个规则：

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

例子：(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

它不过是用"首外内尾"方法：

这就得到 (ac − bd) + (ad + bc)i  这个公式。

用这个公式比较快捷，但如果你忘了，就用“首外内尾”方法。

现在我们来看看在复数平面上乘法是怎样的。

它是复数的平面！

位置是

这是乘以 i的运作：

因为 i2 = −1，我们得到：

酷的是……这和旋转一个直角（90°或 π/2）是相同的。

难道只是个巧合吗？

再试试乘以 i：

再来一次：

再来一次：

惊艳！每次乘以 i，图都旋转了一个直角，直至回到原来位置。

自己选一个负数来试试，这是很好的练习。

我们来具体看看角度。

同一复数，但

以极型表达： （距离和角度）

复数 3 + 4i 可以表达为距离（5）和角度（0.927弧度）。

怎样转换：

我们可以用直角坐标――极坐标转换:

我们也可以用极坐标――直角坐标转换：

我们经常把复数以极型写成

"cos θ + i sin θ"经常被简写为 "cis θ"，所以：

x + iy = r cis θ

cis 是 cos θ + i sin θ 的简写

3 + 4i = 5 cis 0.927

在某些领域，像电子， "cis" 是经常用到的！

再试一个乘数：

在复数平面上的结果是这样：

用极型来表达这些复数会更有意思：

1+i 转换为 极型：

3+i 转换为 极型：

2+4i 转换为 极型：

留心看 r 的值。它们有关系吗？ θ 呢？

把乘数写在一行（用 "cis"）：

(√2 cis 0.785) × (√10 cis 0.322) = √20 cis 1.107

有趣的是：

故此：

幅度乘在一起。 角度加在一起。

在极型乘复数：乘幅度，加角度。

这是为什么乘以 i 等于旋转一个直角：

计算复数的平方，是把它乘以自己：

结果： 幅度平方，角度加倍。

在图上角加倍了。

并且：

所以也取了幅度的平方。

总的来说，一个复数：

r(cos θ + i sin θ)

取平方后成为：

r2(cos 2θ + i sin 2θ)

(幅度 r 取平方，角度 θ 加倍。）

以 "cis" 方式写：

(r cis θ)2 = r2 cis 2θ

数学家亚伯拉罕·棣莫弗发现了这个公式（指数n为整数）：

[ r(cos θ + i sin θ) ]n = rn(cos nθ + i sin nθ)

（幅度成为 rn，角度成为 nθ。）

用 "cis" 方式来写：

(r cis θ)n = rn cis nθ

转换 1+i 为 极型：

以 "cis" 格式写： 1+i = √2 cis π/4

指数是 6，r 便是 r6，θ 便是 6θ：

(√2 cis π/4)6 = (√2)6 cis 6π/4 = 8 cis 3π/2

幅度 成为 8，角度成为 3π/2 （=270°）

也等于 0−8i（如图）