【计算技巧】分数复数的共轭

2024-03-02 00:51| 来源: 网络整理| 查看: 265

最后的总结（提前）

求分数复数模的平方时，无需通过复杂的化简，只需要将分数的分子分母分别乘以自身的共轭复数即可。

1. $\frac{1}{1+ix}$ 的共轭为 $\frac{1}{1-ix}$

证明

$\frac{1}{1+ix}=\frac{1-ix}{(1+ix)(1-ix)}=\frac{1-ix}{1+x^{2}}$

$\frac{1}{1-ix}=\frac{1+ix}{(1-ix)(1+ix)}=\frac{1+ix}{1+x^{2}}$

同理： $\frac{c}{a+ibx}$ 的共轭为 $\frac{c}{a-ibx}$

2. $\frac{1-ix}{1+ix}$ 的共轭为 $\frac{1+ix}{1-ix}$

证明

$\frac{1-ix}{1+ix}=\frac{(1-ix)^{2}}{(1+ix)(1-ix)}=\frac{1-x^{2}-2ix}{1+x^{2}}$

$\frac{1+ix}{1-ix}=\frac{(1+ix)^{2}}{(1-ix)(1+ix)}=\frac{1-x^{2}+2ix}{1+x^{2}}$

同理： $\frac{a-ibx}{c+idx}$ 的共轭为 $\frac{a+ibx}{c-idx}$

3.总结

求分数的共轭，只需要将分子分母分别求共轭即可，无需化为a+ibx形式再求共轭。

4.求分数复数模的平方

1.一个复数的模的平方等于该复数与其共轭复数相乘

$|a+ibx|^{2}=(a+ibx)(a-ibx)$

2.分数的相乘为分子分母分别相乘

$\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{2\times 1}{3\times 2}=\frac{1}{3}$

3.复数分数模的平方

$|\frac{a-ibx}{c+idx}|^{2}=\frac{a-ibx}{c+idx}\times \frac{a+ibx}{c-idx}=\frac{(a-ibx)(a+ibx)}{(c+idx)(c-idx)}$

即分数复数模的平方等于其分子分母分别乘以自身的共轭复数。

5.拓展

最后的总结

求分数复数模的平方时，无需通过复杂的化简，只需要将分数的分子分母分别乘以自身的共轭复数即可。

超基础补充：

1.复数a+ib与复数a-ib为一对共轭复数，即实部相同，虚部互为相反数。

2.复数的实部为a，虚部为b或-b，虚部不含有i。

3.复数可以由向量表示，a+ib表示在复平面上，从原点指向点（a，b）的向量。

拓展：

1.复数的模的几何意义：向量的长

2.复数模的物理意义：通常为某一信号的振幅

3.复数模的平方的物理意义：通常来说，对复数的模求平方都是求信号的功率。比如在电路中，对电阻为1欧的电阻求功率，其功率P=I*I=U*U，即其功率为电流或电压信号的平方。

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