无理数指数, 复数指数, 欧拉公式, 复对数 |
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起因
起因是最近在努力想把傅立叶级数和傅立叶变换重学一遍, 完全搞懂. 傅立叶变换用欧拉公式转换成复系数的形式看起来是非常优雅的. 但是遗憾我已经不记得欧拉公式是怎么来的了. 上网查了些资料, 终于搞清楚了. 先把欧拉公式写在这里: ∀x∈R,eix=cosx+isinx∀x∈R,eix=cosx+isinx
这里ee是自然对数的底, 也叫欧拉数. e≈2.718e≈2.718. ii是虚数单位. 这个公式右边是一个关于xx的三角函数, 函数值落在复数数域里, 也就是一个R↦CR↦C的映射. 而左边是一个指数为复数的指数函数. 可是, 指数为复数的幂运算是怎么定义的? 所以为了搞清楚所有这些概念. 需要把复数域幂运算, 复数域对数运算一起串起来. 写了这篇总结相信再不会忘记了. 幂运算 整数指数先来回顾一下初等代数里关于幂运算的内容. 最最开始, 我们见到的xnxn运算里, x∈R,n∈Z+x∈R,n∈Z+. 在这个限制下, 幂运算的定义为nn个xx自乘. 规定x0=1x0=1 若x≠0x≠0, 定义x−n=1xnx−n=1xn这三个合在一起将运算xnxn里的nn延拓到整数域. 根据这几个定义可以轻松证明下列幂运算的运算性质. 同底数相乘除,指数相加减: xa×xb=xa+bxaxb=xa−b(1)(1)xa×xb=xa+bxaxb=xa−b
幂的幂,指数相乘: (xa)b=x(a×b)(2)(2)(xa)b=x(a×b)
指数分配: (x×y)z=xz×yz(xy)z=xzyz(3)(3)(x×y)z=xz×yz(xy)z=xzyz
我们也可以轻松证明, 把运算里的底数xx延拓到整个非零复数域, 这些运算性质依然成立. 正实数底的实数指数次幂如果我们在运算axax中把底数aa的定义域限定到正实数. 对于∀a∈R+∀a∈R+, axax变为关于xx的指数函数. 进一步延拓指数的定义范围. 若x=1n,n∈Z+x=1n,n∈Z+, 定义axax为a−−√nan的正实数根. 若x=mn,n∈Z+,m∈Zx=mn,n∈Z+,m∈Z, 定义ax=am−−−√nax=amn由于已知有理数是跟分数一一对应的可数集合. 所以上面的定义5就把指数延拓到整个有理数集合了. 无理数指数我们肯定希望我们定义的无理数指数可以使指数函数axax是个连续函数. 所以可以用极限来定义无理数指数. 已知无理数为无限不循环小数, 所以可以做出两个有理数数列来趋近这个无理数. 设x=αx=α是无理数, 我们取其前n位有效数字, 舍去剩下的小数得到的值为rnrn. 取其前n−1n−1个有效数字加上第n个有效数字进位得到的值为snsn. 称{rn}{rn}为不足近似值数列, {sn}{sn}为过剩近似值数列. 举个例子, 对于ππ来讲: {rn}{sn}={3,3.1,3.14,3.141,3.1415}={4,3.2,3.15,3.142,3.1416}{rn}={3,3.1,3.14,3.141,3.1415}{sn}={4,3.2,3.15,3.142,3.1416}
由这两个数列的定义可知{rn}{rn}单调递增, {sn}{sn}单调递减. 且α=sup{rn}=inf{sn}α=sup{rn}=inf{sn} (supsup是上确界, infinf是下确界). 易知limn→+∞rn=limn→+∞sn=αlimn→+∞rn=limn→+∞sn=α, 则 limn→+∞sn−rn=0(4)(4)limn→+∞sn−rn=0
下面只需要证明这两个极限limn→+∞arnlimn→+∞arn和limn→+∞asnlimn→+∞asn都存在且相等, 就可以用这个极限来定义一个实数的无理数指数了. 先假设a>1a>1, 由于我们要定义无理数指数使指数函数axax在实数域上是个连续函数, 而已知这个指数函数当a>1a>1时是个单调递增函数. 所以我们定义的无理数指数一定是使不等式arnlimn→+∞arnlimn→+∞arn和limn→+∞asnlimn→+∞asn都存在. 由下式可知 limn→+∞asnlimn→+∞arn=limn→+∞asnarn=limn→+∞asn−rn=1(5)(5)limn→+∞asnlimn→+∞arn=limn→+∞asnarn=limn→+∞asn−rn=1
对于0a=1a=1的清况是平凡的. 6-1. 若x=αx=α为无理数, 定义指数函数aα=limn→+∞arn=limn→+∞asnaα=limn→+∞arn=limn→+∞asn 到此为止, 幂运算, 底数为正实数, 指数为全体实数, 值为正实数的各种情况已经被很好的定义了. 而且这些定义都可以让前面提到的几条指数运算性质成立. 但后面我们会看到, 一旦我们把指数运算延拓到复数, 有些运算性质就不再成立了. 我们可以看到这里的定义虽然直观, 理解起来容易. 但总感觉不够美观, 跟之前的定义不够统一. 其实这里还有其他的定义方法, 我们先列出这个定义方法. 6-2. 对于任意实数aa, a>0a>0, 以及任意实数xx, 定义ax=ex⋅lnaax=ex⋅lna 这个定义看起来好像是个循环定义, ee的无理数次幂不也还没定义呢么. 所以如果想这个定义成立, 还得先用别的办法定义ee的实数次幂. ee的实数次幂这里有两种办法可以定义ee的实数次幂 方法1, 直接利用极限. 首先我们已知"e"e可以通过极限limn→+∞(1+1n)nlimn→+∞(1+1n)n来定义. 那么对于任意实数xx, 可以定义ex=limn→+∞(1+xn)nex=limn→+∞(1+xn)n 可以简单证明在xx为正整数的时候, 上述定义跟之前的自乘的定义可以互相推导. ek=[limn→∞(1+1n)n]k=limn→∞[(1+1n)n]k=limn⋅k→∞(1+kn⋅k)n⋅k=limm→∞(1+km)mek=[limn→∞(1+1n)n]k=limn→∞[(1+1n)n]k=limn⋅k→∞(1+kn⋅k)n⋅k=limm→∞(1+km)m
方法2, 使用泰勒级数定义 ex=1+x+x22!+x33!+⋯=∑n=0+∞xnn!ex=1+x+x22!+x33!+⋯=∑n=0+∞xnn!
有了这个exex的定义, 任何正实数的实数次幂都可以统一定义成6-2的形式. 甚至复数也可以统一成这个定义. 正实数底的复数次幂跟前面实数一样, 想要把任何正实数的复数次幂也定义成6-2的式子, 必须先定义ee的复数次幂. 这就终于要轮到欧拉公式出场了. 欧拉公式对于任意实数xx, 任意复数z=a+biz=a+bi, 可以证明: eixez=cosx+i⋅sinx=ea(cosb+i⋅sinb)eix=cosx+i⋅sinxez=ea(cosb+i⋅sinb) 证明有多种方法, 比如用泰勒级数也可以证明. 首先把exex, cosxcosx, 和sinxsinx的泰勒级数展开写出来作为已知条件: ex=1+x+x22!+x33!+⋯cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋯sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯ex=1+x+x22!+x33!+⋯cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋯sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯ 将x=iyx=iy带入exex可简单的证明欧拉公式得.定义 有了欧拉公式, 再定义正实数的复数次幂就容易了. 形式重复6-2. 若aa是一个正实数, zz是任何复数, azaz可以定义成ez⋅ln(a)ez⋅ln(a). 非零复数的复数次幂定义7已经将指数延拓到整个复数, 现在开始考察底数的进一步延拓. 之前之所以一直限定底数为正实数, 是因为初等数学里定义7里出现的lnalna的自变量是正实数. 但我们现在有了欧拉公式, 可以把对数运算延拓到复数范围. 复平面上的对数运算对数函数在正实数定义域上的定义是指数函数的反函数, 或者说x=lnax=lna里xx是方程ex=aex=a的唯一解. 在复数范围内, 也可以将z=ln(a+bi)z=ln(a+bi)定义成方程ez=a+biez=a+bi的解, 但这个解并不唯一. 换句话说复指数函数的反函数是个多值函数. 考虑复数w=a+biw=a+bi的几何意义, 把复平面从a,b为轴的笛卡尔坐标系转换成极坐标, 定义a2+b2−−−−−−√a2+b2为复数ww的模. 表示为|w||w|. 定义从正实数轴到复数在复平面上的对应的向量所成的角叫做辐角, 记为Arg(w). 由几何意义易知一个复数点对应的辐角是相差2kπ2kπ的无穷多个角度值, 其中在(−π,π](−π,π]的那个值叫做辐角主值, 记为θθ. 根据欧拉公式上这些定义可以算出对数以ee为底的对数Lnw=ln|w|+i(θ+2kπ)Lnw=ln|w|+i(θ+2kπ), 其中kk为整数. 注意这里用的是大写L开头, 代表多值函数, 如果我们限定辐角必须是辐角主值, 就又变成单值函数了, 用lnwlnw表示. 定义结合对数运算和定义7, 可以得到最终复数域中一般幂函数(或指数函数)的定义如下: wz=ew⋅Lnz,w,z∈C,w≠0wz=ew⋅Lnz,w,z∈C,w≠0 运算性质由于我们得到这个最终的定义变为一个多值函数, 这就导致前面提到运算性质(2)(2)和(3)(3)不再成立了. 前置知识数列, 极限, 级数, 泰勒级数 参考网页1 2 3 |
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