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复数
 此条目或段落建议合并到条目初等代数/复数。（讨论）
复数（Complex number），是一种“复合的数”，由实数和虚数单位 i {\displaystyle i} 所组成。所有的复数都可表达成 a + b i {\displaystyle a+bi} 。 虚数单位[编辑] 为何需要虚数单位[编辑] 解方程： 0.5 x 2 − 6 x + 55.5 = 0 {\displaystyle 0.5x^{2}-6x+55.5=0}从以上一元二次方程的判别式 b 2 − 4 a c = 36 − 4 ( 0.5 ) ( 55.5 ) = 36 − 111 = − 75 {\displaystyle b^{2}-4ac=36-4(0.5)(55.5)=36-111=-75} 中，我们可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数，大概答至这里便可了。若果你学了虚数，又应怎样答呢？ 你应答 x = i {\displaystyle x=i} 或 − i {\displaystyle -i} ，其中 i {\displaystyle i} 是常数，其值为 − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} ，称为虚数单位。 如上题：判别式= 36 − 111 = − 75 {\displaystyle 36-111=-75} ， x = 6 + − 75 1 {\displaystyle x={\frac {6+{\sqrt {-75}}}{1}}} , 6 − − 75 1 {\displaystyle {\frac {6-{\sqrt {-75}}}{1}}} 可记做： x = 6 + 5 3 i {\displaystyle x=6+5{\sqrt {3}}i} , 6 − 5 3 i {\displaystyle 6-5{\sqrt {3}}i} 在古代，数学的应用大多用不着复数，因此人们并没有对复数进行研究。 运算[编辑] − 9 = 3 i {\displaystyle {\sqrt {-9}}=3i} − 2 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i} − x = x i {\displaystyle {\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i} ，其中 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} − 9 × − 2 = 3 i × 2 i = − 18 {\displaystyle {\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}}切记以下的计法不正确： − 9 × − 2 = ( − 9 ) ( − 2 ) = 18 {\displaystyle {\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}={\sqrt {(-9)(-2)}}={\sqrt {18}}} 。x × y = x y {\displaystyle {\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}} 只能应用于 x , y ≥ 0 {\displaystyle x,y\geq 0} 时，因为负数的开方是不连续的。 i {\displaystyle i} 的高次方会不断作以下的循环： i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1\,} i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i\,} i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1\,} i 3 = − i {\displaystyle i^{3}=-i\,}i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1\,} i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i\,} i 6 = − 1 {\displaystyle i^{6}=-1\,} i 7 = − i {\displaystyle i^{7}=-i\,} ... 练习[编辑] 若 n {\displaystyle n} 是整数，试计算以下的值： i 4 n {\displaystyle i^{4n}} i 4 n + 1 {\displaystyle i^{4n+1}} i 4 n + 2 {\displaystyle i^{4n+2}} i 4 n + 3 {\displaystyle i^{4n+3}} 复数的表示：实部、虚部、轭、模[编辑]所有复数都可以表示成 a + b i {\displaystyle a+bi} ，其中 a , b {\displaystyle a,b} 是实数。 a {\displaystyle a} 称为实部，而 b {\displaystyle b} 称为虚部。例如 3 + 4 i {\displaystyle 3+4i} 的实部就是 3 {\displaystyle 3} ，虚部是 4 {\displaystyle 4} 。 一个复数 a + b i {\displaystyle a+bi} 的轭（Conjugates）是 a − b i {\displaystyle a-bi} ， 3 + 4 i {\displaystyle 3+4i} 的轭就是 3 − 4 i {\displaystyle 3-4i} 。如果某个复数是一条二次方程的根，其轭就是另一个根。例如 x 2 − 6 x + 25 = 0 {\displaystyle x^{2}-6x+25=0} 的根就是 3 + 4 i {\displaystyle 3+4i} 和 3 − 4 i {\displaystyle 3-4i} 。 复数 z {\displaystyle z} 的轭写作 z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} 。复数和其轭相乘，即 z × z ¯ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a ( a ) + a ( b i ) − a ( b i ) − ( b i ) ( b i ) = a 2 + b 2 {\displaystyle z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}} ，是一个实数。将复数和轭相加， z + z ¯ = ( a + b i ) + ( a − b i ) = 2 a {\displaystyle z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a} ，亦是一个实数，是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减， z − z ¯ = ( a + b i ) − ( a − b i ) = 2 b i {\displaystyle z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi} ，会得到其虚部的两倍。 | z | = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} 称为 a + b i {\displaystyle a+bi} 的模或绝对值。 练习[编辑] 运算[编辑] 四则运算[编辑]在四则运算上，复数运算和一般运算无甚差异： 加、减法：实部加实部，虚部加虚部： ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} 乘法： ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b i d i = a c + b d i 2 + ( a d + b c ) i = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i} 除法：可将分母“实数化”，方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分： a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = ( a c + b d ) + ( b c − a d ) i c 2 + d 2 {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}}例１： ( 1 − 2 i ) ( 3 + 4 i ) − ( 5 + 6 i ) 7 + 8 i = 11 − 2 i − ( 5 + 6 i ) 7 + 8 i {\displaystyle {\frac {(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}}={\frac {11-2i-(5+6i)}{7+8i}}} = 6 − 8 i 7 + 8 i = ( 6 − 8 i ) ( 7 − 8 i ) ( 7 + 8 i ) ( 7 − 8 i ) = − 22 − 104 i 113 = − 22 + 104 i 113 {\displaystyle ={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}} 例２：求 36 + 111 i 2 {\displaystyle 36+111i^{2}} 之值。 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ， 36 + 111 i 2 = 36 − 111 = − 75 {\displaystyle 36+111i^{2}=36-111=-75} 开方[编辑]要找一个复数的开 n {\displaystyle n} 次幂，可以先求 ( a + b i ) n {\displaystyle (a+bi)^{n}} 的展开式，再对应欲开 n {\displaystyle n} 次幂的复数的虚部和实数求解。 例： x 2 = i {\displaystyle x^{2}=i} ，求 x {\displaystyle x} 。 ( a + b i ) 2 = a 2 + 2 a b i + ( b i ) 2 = ( a 2 − b 2 ) + ( 2 a b ) i {\displaystyle (a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i} i = 0 + 1 i {\displaystyle i=0+1i} a 2 − b 2 = 0 ; 2 a b = 1 {\displaystyle a^{2}-b^{2}=0;2ab=1}解方程得 a = b = 2 2 {\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}} 或 a = b = − 2 2 {\displaystyle a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ，因此， x = 2 2 + 2 2 i {\displaystyle x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i} 或 x = − 2 2 − 2 2 i {\displaystyle x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i} 幂、对数[编辑]参见#幂、对数的计算。 复数平面[编辑]本来卡氏座标要有两个座标来表示位置，当有了复数后我们只需要一个复数就可以表示座标上的位置，用这样方式表示座标平面称为复座标或复平面。复平面由一实轴和虚轴组成。 有序对[编辑] 单位圆[编辑] 欧拉公式[编辑]等式 e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x} 称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。 当x为π时, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数： e {\displaystyle e} ， i {\displaystyle i} ， π {\displaystyle \pi } ，１，０，连起来. 幂、对数的计算[编辑] 棣美弗公式[编辑] 几何上的应用[编辑] 向量[编辑]复数向量是表示在复平面上的向量 向量z= a + b i {\displaystyle a+bi} 在实轴上的正射影长为a，在虚轴上的正射影长为b 长度为 | z | = ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle |z|={\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)}}} 变换[编辑] 位移[编辑] 旋转[编辑] 例子[编辑] 凡·奥贝尔定理的证明[编辑] 高斯整数、艾森斯坦整数[编辑] 质数[编辑] 练习解答[编辑] 练习一[编辑] 1 i {\displaystyle i} -1 − i {\displaystyle -i}
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复数 (数学)
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所组成。所有的复数都可表达成
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
。
中，我们可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数，大概答至这里便可了。若果你学了虚数，又应怎样答呢？
或
−
i
{\displaystyle -i}
，其中
i
{\displaystyle i}
，称为虚数单位。
，
x
=
6
+
−
75
1
{\displaystyle x={\frac {6+{\sqrt {-75}}}{1}}}
,
6
−
−
75
1
{\displaystyle {\frac {6-{\sqrt {-75}}}{1}}}
,
6
−
5
3
i
{\displaystyle 6-5{\sqrt {3}}i}
−
2
=
2
i
{\displaystyle {\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i}
−
x
=
x
i
{\displaystyle {\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i}
，其中
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
−
9
×
−
2
=
3
i
×
2
i
=
−
18
{\displaystyle {\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}}
。
只能应用于
x
,
y
≥
0
{\displaystyle x,y\geq 0}
时，因为负数的开方是不连续的。
i
1
=
i
{\displaystyle i^{1}=i\,}
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1\,}
i
3
=
−
i
{\displaystyle i^{3}=-i\,}
i
5
=
i
{\displaystyle i^{5}=i\,}
i
6
=
−
1
{\displaystyle i^{6}=-1\,}
i
7
=
−
i
{\displaystyle i^{7}=-i\,}
是整数，试计算以下的值：
i
4
n
+
1
{\displaystyle i^{4n+1}}
i
4
n
+
2
{\displaystyle i^{4n+2}}
i
4
n
+
3
{\displaystyle i^{4n+3}}
复数的表示：实部、虚部、轭、模[编辑]
是实数。
a
{\displaystyle a}
称为实部，而
b
{\displaystyle b}
称为虚部。例如
3
+
4
i
{\displaystyle 3+4i}
的实部就是
3
{\displaystyle 3}
，虚部是
4
{\displaystyle 4}
。
，
3
+
4
i
{\displaystyle 3+4i}
。如果某个复数是一条二次方程的根，其轭就是另一个根。例如
x
2
−
6
x
+
25
=
0
{\displaystyle x^{2}-6x+25=0}
的根就是
3
+
4
i
{\displaystyle 3+4i}
的轭写作
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
。复数和其轭相乘，即
z
×
z
¯
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
=
a
(
a
)
+
a
(
b
i
)
−
a
(
b
i
)
−
(
b
i
)
(
b
i
)
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}}
，是一个实数。将复数和轭相加，
z
+
z
¯
=
(
a
+
b
i
)
+
(
a
−
b
i
)
=
2
a
{\displaystyle z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a}
，亦是一个实数，是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减，
z
−
z
¯
=
(
a
+
b
i
)
−
(
a
−
b
i
)
=
2
b
i
{\displaystyle z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi}
，会得到其虚部的两倍。
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
称为
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
乘法：
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
a
d
i
+
b
c
i
+
b
i
d
i
=
a
c
+
b
d
i
2
+
(
a
d
+
b
c
)
i
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
{\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i}
除法：可将分母“实数化”，方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分：
a
+
b
i
c
+
d
i
=
(
a
+
b
i
)
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
(
c
−
d
i
)
=
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
c
2
+
d
2
{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}}
=
6
−
8
i
7
+
8
i
=
(
6
−
8
i
)
(
7
−
8
i
)
(
7
+
8
i
)
(
7
−
8
i
)
=
−
22
−
104
i
113
=
−
22
+
104
i
113
{\displaystyle ={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}}
之值。
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
，
36
+
111
i
2
=
36
−
111
=
−
75
{\displaystyle 36+111i^{2}=36-111=-75}
的展开式，再对应欲开
n
{\displaystyle n}
，求
x
{\displaystyle x}
。
i
=
0
+
1
i
{\displaystyle i=0+1i}
a
2
−
b
2
=
0
;
2
a
b
=
1
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=0;2ab=1}
或
a
=
b
=
−
2
2
{\displaystyle a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}
，因此，
x
=
2
2
+
2
2
i
{\displaystyle x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}
或
x
=
−
2
2
−
2
2
i
{\displaystyle x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}
称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。
当x为π时,
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：
e
{\displaystyle e}
，
i
{\displaystyle i}
，１，０，连起来.
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