＋

d

2

＋

bc

－

da

c

2

＋

d

2

i(

c

＋

d

i

≠

0)

．

(5)

复数的模：

若

z

＝

a

＋

b

i(

a

，

b

∈

R

)

，则

|

z

|

＝

|

a

＋

b

i|

＝

a

2

＋

b

2

．

知识点

2

：

1

．

必记的概念与定理

(1)

零向量模的大小为

0

，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为

0

．

(2)

长度等于

1

个单位长度的向量叫单位向量，

a

的单位向量为

a

|

a

|

．

(3)

方向相同或相反的向量叫共线向量

(

平行向量

)

．

(4)

如果直线

l

的斜率为

k

，则

a

＝

(1

，

k

)

是直线

l

的一个方向向量．

2

．

平面向量的两个重要定理

(1)

向量共线定理：向量

a

(

a

≠

0

)

与

b

共线当且仅当存在唯一一个实数

λ

，使

b

＝

λ

a

．

(2)

平面向量基本定理：如果

e

1

，

e

2

是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一

向量

a

，有且只有一对实数

λ

1

，

λ

2

，使

a

＝

λ

1

e

1

＋

λ

2

e

2

，其中

e

1

，

e

2

是一组基底．

3

．

平面向量的数量积

已知两个非零向量

a

与

b

，则数量

|

a

||

b

|cos 

θ

叫做

a

与

b

的数量积，记作

a·

b

，即

a·

b

＝

|

a

||

b

|cos 

θ

，

其中

θ

是

a

与

b

的夹角．向量夹角

θ

的范围是

0

°≤

θ

≤

180

°，

a

与

b

同向时，夹角

θ

＝

0

°；

a

与

b

反向时，夹角

θ

＝

180

°．

4

．

记住几个常用的公式与结论

(1)

设

a

＝

(

x

1

，

y

1

)

，

b

＝

(

x

2

，

y

2

)

，则

a

＋

b

＝

(

x

1

＋

x

2

，

y

1

＋

y

2

)

．

(2)

设

a

＝

(

x

1

，

y

1

)

，

b

＝

(

x

2

，

y

2

)

，则

a

－

b

＝

(

x

1

－

x

2

，

y

1

－

y

2

)

．

(3)

设

A

(

x

1

，

y

1

)

，

B

(

x

2

，

y

2

)

，则

AB

→

＝

OB

→

－

OA

→

＝

(

x

2

－

x

1

，

y

2

－

y

1

)

．

(4)

设

a

＝

(

x

，

y

)

，

λ

∈

R

，则

λ

a

＝

(

λx

，

λ

y

)

．

(5)

设

a

＝

(

x

1

，

y

1

)

，

b

＝

(

x

2

，

y

2

)

，则

a·

b

＝

x

1

x

2

＋

y

1

y

2

．

(6)

两向量

a

，

b

的夹角公式：

cos 

θ

＝

x

1

x

2

＋

y

1

y

2

x

2

1

＋

y

2

1

·

x

2

2

＋

y

2

2

(

a

＝

(

x

1

，

y

1

)

，

b

＝

(

x

2

，

y

2

))

．

(7)

设

a

＝

(

x

1

，

y

1

)

，

b

＝

(

x

2

，

y

2

)

，且

a

≠

0

，

则

a

∥

b

⇔

b

＝

λ

a

⇔

x

1

y

2

－

x

2

y

1

＝

0

．

a

⊥

b

(

b

≠

0

)

⇔

a

·

b

＝

0

⇔

x

1

x

2

＋

y

1

y

2

＝

0

．

5

．

需要关注的易错易混点

(1)

向量共线的充要条件中要注意“

a

≠

0

”，否则

λ

可能不存在，也可能有无数个．

(2)

只要两个向量不共线，

就可以作为平面的一组基底，

对基底的选取不唯一，

平面内任意向量

a

都可被这个平面的一组基底

e

1

，

e

2

线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

(3)

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐

标中既有方向的信息也有大小的信息．

(4)

“

a

·

b

>0

”是“

θ

为锐角”的必要不充分条件，

“

a

·

b