课程号：00132320  

课程名称：复变函数

开课学期：春季

学分：    3

先修课程：数学分析、高等代数

基本目的： 复变函数是为数学学院各个专业开设的一门重要基础课. 通过课程学习使得同学理解和掌握复变函数的基本理论，进一步加强对数学抽象思维, 逻辑推理和计算能力的训练，体会复变函数所表现的数学理论的优美之处，了解复变函数理论的相关应用。

内容提要：

一. 复数及扩充复平面 （约5学时）

复数的表示和运算，复平面的完备性，复变量, 圆和直线方程及其对称点，扩充复平面，复值连续函数。

二.解析函数定义及基本性质 （约6学时）

复函数关于复变量的导数, 导数的几何意义，Cauchy-Riemann方程，单连通区域上处处不为零的解析函数的对数和根式，分式线性变换，初等解析函数，简单Riemann面。

三.Cauchy定理和Cauchy公式（约7学时）

路径积分，Green公式与Cauchy定理，Cauchy公式，解析函数局部幂级数展开的存在性，幂级数的简单应用, 解析函数的零点孤立性和解析函数唯一性定理，Morera定理，平均值定理，最大模原理和Schwarz引理，单位圆盘的解析自同胚群，非欧几何简介。

四. Laurent级数（约6学时）

环形区域上解析函数的Laurent级数，孤立奇点分类，亚纯函数，复平面和扩充复平面的解析自同胚群。

五. 留数定理和辐角原理（约6学时）

留数定义及其计算，幅角原理，Rouche定理，解析函数的零点个数估计，单叶解析函数性质, 解析函数的开映射定理，利用留数定理计算某些特殊定积分。

六.解析开拓（约6学时）

解析开拓的幂级数方法, 延曲线的解析开拓, 解析开拓与路径的关系, 单值性定理， 对称原理。

七.Riemann映射定理（约5学时）

正规族和Montel定理，Riemann映射定理。

八.调和函数简介（约3学时）

Poisson公式，次调和函数，Dirichlet问题。

教学方式：每周授课3学时

教材与参考书：

1）谭小江, 伍胜健： 复变函数简明教程，北京大学出版社。

2）龚升: 简明复分析. 北京大学出版社。

3）Ahlfors,L.V.: Complex Analysis,3rd ed. MoGraw-Hill.NewYork.1979.

学生成绩评定方法：作业10％，期中考试40％，期末考试50％。

课程修订负责人：关启安