在《浅谈矢量场 —— 1. 梯度、散度与拉普拉斯算子》 这篇文章中提到过「拉普拉斯算子」，它的表达形式一般如下：

Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} Δ=∇2=∂x2∂2​+∂y2∂2​+∂z2∂2​

在物理上，它是 n n n 维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度 ∇ f \nabla f ∇f 的散度 ∇ ⋅ ∇ f \nabla \cdot \nabla f ∇⋅∇f。注意，通常表示梯度时，我们使用 ∇ f \nabla f ∇f，而表示散度时，我们习惯使用 ∇ ⋅ f \nabla \cdot f ∇⋅f，旋度则一般表示为 ∇ × f \nabla \times f ∇×f。所以，拉普拉斯算子的二阶形式，经常被简写为 ∇ 2 f \nabla^2 f ∇2f，很少使用 Δ f \Delta f Δf 形式，因为这容易与微量弄混淆，所以现在一些较新的出版论文或教材里，已经较多的使用 ∇ 2 \nabla^2 ∇2 替换了原有的 Δ f \Delta f Δf 形式。

而「调和函数」的形式可以从「拉普拉斯算子」出发，被认为是当 「拉普拉斯算子」等于0的特殊情况的一类函数，即：

∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = 0 \nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0 ∇2φ=∂x2∂2φ​+∂y2∂2φ​+∂z2∂2φ​=0

而且一般对于复数域来说，我们只讨论到实数域和虚数域两个维度，所以：

∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0 ∇2φ=∂x2∂2φ​+∂y2∂2φ​=0

我个人感觉，「调和函数」这种函数形式，对于研究物理「场」是一种特别重要的工具，但是说实话在数学范畴上，是比较少见到具体应用的。

那么对于一个复变函数 f ( z ) = u + j v f(z) = u + j v f(z)=u+jv 来说，如果它自身满足

{ ∇ 2 u = 0 ∇ 2 v = 0 \left \{ \begin{matrix} \nabla^2 u = 0 \\ \nabla^2 v = 0 \end{matrix} \right . {∇2u=0∇2v=0​

那么我们称其为调和函数。

现在我们来看一些例题

函数 f ( z ) = u + j v f(z) = u + j v f(z)=u+jv 在区域 D D D 内解析，则下列命题中错误的是________ A. 函数 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内可导； B. 函数 u u u、 v v v 时区域 D D D 的调和函数； C. 函数 u u u、 v v v 在区域 D D D 内满足柯西黎曼方程； D. 函数 u u u、 v v v 在区域 D D D 内的共轭调和函数。

解：这题主要考察对复变函数相关概念的掌握，我们现在一一分析：

首先对于答案A，由于题干给出了在 D D D 内解析，那它必然在 D D D 内处处可导（对这问题不熟悉的朋友，可以看 《复变函数 —— 3. 什么是解析函数》 ），并且可以直接得到 u u u、 v v v必然也满足柯西黎曼方程，所以C也是正确的。

接下来对于B来说，由于A和C正确，所以对于复变函数的一阶导必然是一个复常数 a a a

∇ f = a \nabla f = a ∇f=a

这是因为如果说复变函数在点 ( x , y ) (x, y) (x,y) 存在导数，也就意味着当 z z z 趋于 z o z_o zo​ 时， f ( z ) f(z) f(z) 有极限a存在，即 l i m z → z o f ( z ) − f ( z o ) z − z o = a lim_{z \to z_o} \frac{f(z) - f(z_o)}{z - z_o} = a limz→zo​​z−zo​f(z)−f(zo​)​=a。注意这里的 a a a 必须是一个确定的「复常数」，即 3 − j 3-j 3−j 或者 1 / 4 j 1/4j 1/4j这样，而不是 x − j x - j x−j这种类型的。

所以如果我们再对「复常数」 a a a 取导，它一定等于0，所以在满足区域 D D D 内解析的同时， u u u、 v v v也同时满足调和函数的定义要求，B因此也是正确的；这样错误的只有D了。

验证 u(x, y) = x^2 - y^2 + xy 是调和函数，并求相应的解析函数， f ( z ) = u + j v f(z) = u + j v f(z)=u+jv，使 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0。

解：验证调和函数，首先要求上式的二阶导，所以

∂ ∂ x ∂ ( x 2 − y 2 + x y ) ∂ x = ∂ ∂ x ⋅ ( 2 x + y ) = 2 \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot (2x + y) = 2 ∂x∂​∂x∂(x2−y2+xy)​=∂x∂​⋅(2x+y)=2

∂ ∂ y ∂ ( x 2 − y 2 + x y ) ∂ y = ∂ ∂ y ⋅ ( − 2 y + x ) = − 2 \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \cdot (-2y + x) = -2 ∂y∂​∂y∂(x2−y2+xy)​=∂y∂​⋅(−2y+x)=−2

由于 2 − 2 = 0 2-2 =0 2−2=0，所以 u u u是调和函数。接下来在已知实数域函数 u u u 的前提下，我们需要推导出虚数域的函数 v v v，先从CR方程，可以得到 ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ∂x∂u​=∂y∂v​， 注意这两个都是导数形式，所以要想得到原函数，可以把导数代入积分中，即：

v = ∫ v ′ d y = ∫ u ′ d y v = \int v' dy = \int u' dy v=∫v′dy=∫u′dy

u ′ u' u′ 其实已经在验证调和函数过程中得到，所以直接代入

v = ∫ ( 2 x + y ) d x = 2 x y + 1 2 y 2 + C ( x ) v = \int (2x + y) dx = 2xy + \frac{1}{2} y^2 + C(x) v=∫(2x+y)dx=2xy+21​y2+C(x)

于是得到 ∂ v ∂ x = 2 y + C ′ ( x ) \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x) ∂x∂v​=2y+C′(x)，然后再代入CR方程， ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial y}= - \frac{\partial v}{\partial x} ∂y∂u​=−∂x∂v​，

x − 2 y = − 2 y − C ′ ( x ) → C ′ ( x ) = − x x - 2y = -2y - C'(x) \to C'(x) = -x x−2y=−2y−C′(x)→C′(x)=−x

然后求 C ( x ) C(x) C(x) 的原函数，通过 C ( x ) = ∫ − x d x = − 1 2 x 2 + C C(x) = \int -x dx = -\frac{1}{2} x^2 + C C(x)=∫−xdx=−21​x2+C，最终 v = 2 x y + 1 2 y 2 − 1 2 x 2 + C v = 2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C v=2xy+21​y2−21​x2+C，然后对于 f ( z ) = u + j v f(z) = u + jv f(z)=u+jv ，可得到：

f ( z ) = x 2 − y 2 + x y + j ( 2 x y + 1 2 y 2 − 1 2 x 2 + C ) f(z) = x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) f(z)=x2−y2+xy+j(2xy+21​y2−21​x2+C)

然后带入条件 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0，且 z = x + j y z = x + j y z=x+jy 可知 x = y = 0 x = y = 0 x=y=0，于是

f ( z ) = x 2 − y 2 + x y + j ( 2 x y + 1 2 y 2 − 1 2 x 2 + C ) ⇒ j C = 0 ⇒ C = 0 f(z) = x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) \Rightarrow jC = 0 \Rightarrow C= 0 f(z)=x2−y2+xy+j(2xy+21​y2−21​x2+C)⇒jC=0⇒C=0