1、复变函数的概念

复变函数将复数z=x+yi （即复平面上的点）通过变换 w=f(z) ，映射至复平面上的新的点 z'=x'+y'i 。复变函数是点对点的映射。

example: f(z)=z^2

f(z)=z^2=(x+yi)^2=(x^2-y^2)+2xyi

原先的点 (x,y) 被一一映射至点 (x^2-y^2,2xy)

可将复变函数写为f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 的形式。可见，如果输入两个变量 (x,y) ，这个函数将会输出两个变量 (u(x,y),v(x,y)) 。因此，复变函数是一个“四维”函数。

2、复变函数的单值性和黎曼面

我们知道，有于辐角的多值性，对复数进行某些操作可能会导致多种结果。

example1:对复数开根号 \sqrt{z}=\sqrt{re^{i(\theta+2k\pi)}}=\sqrt{r} e^{i(\frac{\theta}{2}+k\pi)}=\pm \sqrt{r} e^{i\frac{\theta}{2}}

example2:对复数取对数 ln(z)=ln(re^{i(\theta+2k\pi)})=ln(r)+ln(e^{i(\theta+2k\pi)})=ln(r)+i(\theta+2k\pi)

因此，复变函数 f(z)=\sqrt{z} 以及 g(z)=ln(z) 都是多值函数。

（黎曼面以后再写QAQ......）

3、复变函数的导数及解析函数的定义

对于复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

连续性： f(z) 在 z_0 及其邻域上有定义，且当沿着任意路径 z\rightarrow z_0 时有

\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) ,则称 f(z) 在 z_0 点连续。

若 f(z) 在其定义域内处处连续，则 f(z) 为连续函数。

可导性： f(z) 在 z_0 点连续，且当以任何方式 \Delta z \rightarrow 0 时 ,\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 存在且唯一，则称 f(z) 在 z_0 处可导。称 f'(z)=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} 为 f(z) 在 z_0 处的导数。

解析性： f(z) 在 z_0 及其邻域上各点均可导，则称 f(z) 在 z_0 处解析。

解析函数：f(z) 在区域 D 上处处解析，则称 f(z) 在 D 上的解析函数。

4、柯西-黎曼条件

由复变函数 f(x) 的可导性，我们可以得出，一个可导的复变函数，沿着 x 或者 y 方向都是可导的，并且两者的值是一样的！由此，我们可以得出一个可导的复变函数必须要满足的条件。对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y):

路径1：x 方向（即沿x轴正方向移动微小距离 \Delta x ）

f'(z)=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+i\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}\\ =\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+i\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}

路径2： y 方向（即沿y轴正方向移动微小距离 i\Delta y ）

f'(z)=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{i\Delta y}+i\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{i\Delta y}\\ =(\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}+i\frac{\partial v(x,y)}{\partial y})/i\\ =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}-i\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}

由于导数值应相等，我们可以得出一组条件：

\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+i\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}-i\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}

即柯西-黎曼条件 \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} , \frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}

这个条件是由可导性推出的，应该是必要条件，本应不具有充分性。但是牛逼的一点在于，它竟然是充要条件！！！（柯西-黎曼条件，再加上u，v是二元可微实函数的条件，就能推出复变函数可导。实际上这是由于解析函数具有很好的性质，导致u和v相互有限制关系）

接下来我们给出证明：

若复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足条件：

1、u，v是二元可微实函数的条件

2、满足柯西-黎曼条件

则 f(z) 可导。

由1， \Delta u=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+\xi_1\Delta x+\xi_2\Delta y

\Delta v=\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+\xi_3\Delta x+\xi_4\Delta y

\lim\limits_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0} \xi_i=0

\Delta f=\Delta u+\Delta v\\ =(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})\Delta x+(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y})\Delta y+(\xi_1+\xi_3)\Delta x+(\xi_2+\xi_4)\Delta y\\ =(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})\Delta x+(-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y})i\Delta y+(\xi_1+\xi_3)\Delta x+(\xi_2+\xi_4)\Delta y

将柯西-黎曼条件\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} , \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}带入第二项

\Delta f=(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})\Delta x+(i\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial x})i\Delta y+(\xi_1+\xi_3)\Delta x+(\xi_2+\xi_4)\Delta y\\ = (\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})(\Delta x+i\Delta y)+(\xi_1+\xi_3)\Delta x+(\xi_2+\xi_4)\Delta y\\ =(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})\Delta z+(\xi_1+\xi_3)\Delta x+(\xi_2+\xi_4)\Delta y

因此， \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}

先休息了，下次有空再更。