第十章 复变函数 |
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第十章 复变函数
本章研究的对象是定义在复数域上的复值函数(简称复变函数).重点研究一类比较特殊的复变函数——解析函数.主要内容包括解析函数的分析属性(微积分理论及级数表示)、几何性质(保角映射)等.
§1 解析函数
一、复变函数基本概念与复变函数的导数
[单值函数与多值函数] 设Σ是扩充复平面(即包含无穷远点∞的平面)z上的一个区域(第二十一章§5,二),对于Σ内的每个复数z,按照一定的规律,有一个或多个复数ω和它对应,就称在Σ上定义了一个复变函数,记作 区域Σ称为函数的定义域. 如果每一个复数z都只有一个复数ω和它对应(允许不同的复数z对应于同一个复数ω),就称函数是单值的;如果有的复数z有多个ω值和它对应,就称函数是多值的.下面如果不加说明,一律都指单值函数. [映射·象·原象] 如果复数z用复平面z(简称z平面)上的点表示,复数ω用复平面ω(简称ω平面)上的点表示,那末复变函数就是z平面上区域Σ的点和ω平面上的某个点集(第二十一章§3,一)F的点之间的对应关系.这样一来,复变函数可以看成几何上的“映射”(变换)(第二十一章§1,二),点ω()称为点z的象(象点),点z称为点ω的原象(象源).一般地,当点z在复平面z上画出一个图形A(或点集)时,相应地,它的象点ω在复平面ω上就画出一个图形(或点集)B.称B为A的象,A为B的原象.称函数把A映上B. [单叶函数与多叶函数·反函数] 如果函数在点集A上单值的,并且对于点集A上的任意两个不同的点z1和z2,它们的象ω1=f(z1)和ω2=f(z2)也不同,那末称函数在点集A上是单叶的,如果点集A上至少有两个不同的点z1和z2使,那末称函数在点集A上是多叶的. 如果单值函数又是单叶的,它就表示A和B的点之间的一对一对应关系,并且对于B上的每一点ω,A上有一个且只有一个点z和它对应.记作
它称为函数的反函数(单值的). 如果函数在点集A上不是单叶的,那末它的反函数就是多值的了. [双方单值连续的映射定理] 设ω=f(z)是z平面区域Σ内的单值连续函数,如果它又是单叶的,那末Σ的象Δ仍是一个区域,而且反函数在Δ内连续.这种双方单值连续的映射称为拓扑映射或同胚映射. [复变函数的极限] 设z0是函数f(z)的定义域内的一点,如果对任意小的正数ε,都存在一个正数,使得对于任意满足条件∣的复数z(复数z0本身可能除外),都有
那末复数A(有限或无限)称为函数ω=f(z)当z趋于z0时的极限,记作 [复变函数的连续性与一致连续性] 设z0是函数f(z)的定义域内的一点,如果函数ω=f(z)当z→z0时极限存在有限,而且同时满足 那末称函数ω=f(z)在点z0是连续的,如果函数ω=f(z)在区域Σ上每一点都连续,称函数ω=f(z)在区域Σ上是连续的. 如果对于任意小的正数ε,都存在一个正数δ=δ(ε),使得区域Σ内满足条件的任意两点z1和z2,都有 ∣ 那末称函数f(z)在Σ上一致连续. 函数在区域Σ上一致连续,一定在Σ上连续,反过来,函数在区域Σ上连续,不一定保证函数在Σ上一致连续.但是,如果Σ是有界闭区域(记作),那末上的连续性和一致连续性就等价了.同时,有界闭区域上连续函数ω=f(z)还有类似于微分学中闭区间上连续函数的另外两个性质: 1o 如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续,那末存在一个正数M,使得对于上所有的z,都有 ∣ 2o 如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续,那末函数f(z)的模在上可以达到最大值和最小值,也就是说,在上有两点z1和z2,使得对于上所有的z,都有 ∣ ∣ [复变函数的导数] 设函数ω=f(z)定义在区域Σ上,z0是Σ内的一点,如果极限 存在,而且有限,那末这个极限值就称为函数f(z)在点z0的导数,记作 并且称函数在点可微(单演、全纯). 复变函数可微的定义与实变函数可微的定义在形式上是一样的,因此复变函数的求导数的一些法则、公式与实变函数的求导数的一些法则、公式在形式上也是一样的.但是另一方面,由于在复变函数的可微性定义中,动点z趋于z0点是在平面上,方式是任意的,它可沿任一曲线趋于z0,这表明复变函数可微的条件比实变函数可微的条件要求高,从而带来复变函数论不少独特的性质和应用. [复变函数的导数的几何意义(伸缩系数与旋转角)] 设z平面上通过z0的曲线C,经过映射ω=f(z)(可微)的象是ω平面上通过的曲线,如果那末 1o∣称为映射ω=f(z)在z0的伸缩系数,它等于曲线上通过ω0的无穷小弦长与曲线C上通过z0的无穷小弦长之比的极限,它与曲线C和曲线的选择无关; 2o 称为映射ω=f(z)在z0的旋转角,如果把z平面与ω平面迭放在一起,使点z0与点ω0重合,x轴与u轴平行且正方向相同,那末就等于曲线C在z0的切线到曲线在对应点ω0的切线所转过的角度,它与曲线C和曲线的选择无关.
二、 解析函数
一般地,复数函数ω=f(z)可以写成
这样,对于一般的复变函数的讨论就等价于对两个双变量的实变函数的讨论.但是,在生产实践和科学实验中,常常遇到的是一类比较特殊的复变函数——解析函数.对于这一类函数,去研究复变函数f(z)本身比拆开来研究两个实变函数u(x,y)和v(x,y)更方便,得到的结论更简捷完整,便于应用. 1、解析函数的定义与柯西-黎曼方程 [解析函数与柯西-黎曼方程] 如果复变函数f(z)在点z=z0的一个充分小领域*内点点可微,就称这个函数在点z0是解析的;如果函数f(z)在一个区域Σ内点点可微就称它在区域Σ内是解析的(正则,全纯). 如果定义在区域Σ内的函数 在Σ内解析,那末u(x,y)和v(x,y)在Σ内满足下面的柯西-黎曼方程 反过来,如果u(x,y),v(x,y)在Σ内满足上面的条件,并且可微,那末f(z)在Σ内解析.这时,解析函数f(z)的导数可以表示成下面四种形式之一: [调和函数] 在区域Σ内存在二阶连续偏导数的实变函数u(x,y),如果在Σ内满足拉普拉斯方程 那末称函数u=u(x,y)是Σ内的调和函数. 区域Σ内的解析函数f(z)的实部和虚部都是调和函数. [形式导数] 将
或 看作变量替换而引进形式导数
如果f(x,y)是实变数x,y的有连续偏导数的函数,那末
这样一来,柯西-黎曼方程可写成
拉普拉斯方程可写成
极坐标中的柯西-黎曼方程可写成
2、解析开拓 [直接解析开拓]如果是两个有公共边界Г的单连通区域*,和分别在和内单值解析,在Г和Г上连续,并且在Г上,那末称是经过Г向内的直接解析开拓(或延拓)(图10.1)。 [解析开拓与完全解析函数]设为单连通区域, 与有公共边界,,对于任何k,在内单值解析. 与分别在和上连续,并且在上,那末称是f1(z)经过一串区域向内的解析开拓. 考虑f1(z)经过所有可能的区域串的各种解析开拓,把所有这些解析开拓的值当作一个函数F(z)的值来看。这时称F(z)为完全解析函数,而组成它的那些单值解析函数,即f1(z)的各种解析开拓,称为F(z)的分支. 3、初等解析函数 [有理函数]
式中P(z)和Q(z)没有公因式,R(z)在Q(z)的零点上取值∞,那末R(z)在扩充平面上连续. 当n>m, R(z)在∞处有一个n-m阶零点;当n.; |
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