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课题 基本不等式（1）教学目标教学目标： 1.初步理解基本不等式及其证明方法和几何解释； 2.通过利用基本不等式求简单的最值问题，使学生理解利用基本不等式解决最值问题的方法； 3.通过对基本不等式证明方法分析法的认识以及利用基本不等式求简单的最值问题，发展学生的逻辑推理、数 学运算和数学建模的素养. 教学重点：理解基本不等式及其证明方法. 教学难点：基本不等式的几何解释以及用基本不等式解决简单的最值问题.教学过程时间 教学环节 主要师生活动3 分钟 问题引入 教师:我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等 式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个 问题. 问题 1： 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： , ∈ , 有2 + 2 ≥ 2, 当且仅当 = 时，等号成立. 教师:请大家观察,这个不等式左边的平方结构要求比较高，使用不方便，能否换成 一个数，又因为替换的是个平方数，所以应该是个正数。那么这里特别地，如果 > 0, > 0 我们用 , 分别代替上式中的, 可以得到怎样的式子？ 师生活动：学生独立计算后回答。 教师总结：对于 > 0, > 0, + ≥ 2 变形为 ≤ ①当且仅当 = 时，等号 成立．通常我们称不等式①为基本不等式.其中叫做正数, 的算术平均数， 叫做 正数, 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.6 分钟 分析法证明 问题 2：前面，我们通过考察2 + 2 ≥ 2的特殊情形获得了基本不等式，你能否 直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式.教师 在肯定学生的做法之后，给学生简单介绍分析法并且引导学生用分析法写出证明过程. 教师:分析法是一种“执果索因 ”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求 使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理）为止. 分析法解题过程如下: 要证 ≤ ① ,2 2+ ≤ 0. ③(())0) 显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立. 我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了. 追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？教师引导由② ① , 由③ ②, 由④ ③ , 由⑤ ④的依据. 教师总结：② ①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式 同向） ③ ②（根据不等式性质，两边同时加上正数( + ), 所得不等式与原不等式同向） ④ ③（运用完全平方差公式打开计算） ⑤ ④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向） 显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立. 追问（2）：上述证明方法叫做“分析法 ”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？ 师生活动：学生讨论后回答. 教师总结：分析法是一种“执果索因 ”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻 求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、定理、定义、公理）为止. 追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？ 师生活动：学生思考后回答. 教师总结： 由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以 分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证… … ”“只要 证… … ”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然… … 成立。 下面我们一起来看问题 3.5 分钟 几何解释 同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想 到从几何角度基本不等式也有背景对应呢 下面我们一起来探 究一下 问题 3： 在图 1 中， 是圆的直径，点 是 上一点， = , = . 过点做垂直于 的弦弦 ，连接, .你能在这个图形中尝 试找出和 所对应的是哪条线段吗 进而得出基本不 等式的几何解释吗？师生活动：教师引导学生思考后回答，可证 , 因而 = 。由于 小于或等于圆半径，用不等式表示为 ≤ 显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即当 = 时，上述不等式的等号成立. 图 1 (2,)教师引导学生总结：从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于+ , = 所以基本不等式可以利用“ 圆中直径不小于任意一条弦 ”得到它的几何解释，当且仅 当弦过圆心时，二者相等.通过基本不等式的几何解释,希望同学们能借助图形记住基本 不等式的结构特征,特别是不等号的方向.5 分钟 简单应用 前面我们知道了基本不等式的内容、证明方法和几何解释，下面我们利用基本不等式 来解决一些简单的最值问题.请看下面的例题.例 1 已知 > 0, 求 + 的最小值. 追问（1）：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求 + 的最小值？ 师生活动：学生思考后回答. 教师总结：本题中要求的代数式是 与和的形式，而且 = 1 ，由于 + 是 与的算 术平均数的 2 倍，而后者的几何平均数 是一个定值，所以可以利用基本不等式求解. 下面是解答过程. 解：因为 > 0，所以 + 因此所求的最小值是 2. 1 ≥ 2 = 2，当且仅当 = 1 , 即2 = 1, = 1 时，等号成立追问（2）：在上述解答过程中，是否必须说明“ 当且仅当 = ，即 2 = 1, = 1 时，等号成立 ”？ 师生活动：学生讨论后回答. 教师总结：这是为了说明“2 ”是 + 的一个取值。那么请同学们再想一想，当0 0） 的最小值吗？ 师生活动：学生思考后回答. 教师总结：当然是不能，因为 + 的最小值， 就是要求出一个0 = 0 + 1 0 , 使 >0, 都有 + 1 ≥ 0 .如果0 追问（3）：通过本例的解答，你能说说满足什么条件能够利用基本不等式求最小值呢？ 师生活动：学生讨论后回答. 教师总结：如果两个正数的积为定值，当这两个数相等时，可以求得它们的和的最小 值.4 分钟 简单应用 例 2 已知 , 都是正数，求证： （1）如果积 等于定值,那么当 = 时，和 + 有最小值 2 ; （2）如果和 + 等于定值, 那么当 = 时，积 有最小值2 . 师生活动：师生一起分析后，鼓励学生用自然语言把两个问题连在一起说，能用自己 的话表达也是对结论的进一步理解。并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 证明：（1）因为 , 都是正数，所以 +2 ≥ , 当积 等于定值时， +2 ≥ ,所以 + ≥ 2 , 当且仅当 = 时，和 + 有最小值 2 ; （2）当和 + 等于定值时， ≤ +2 =,所以 ≤ 2 ，当且仅当 = 时， 积 有最小值2 . 追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？ 师生活动：学生思考后回答. 教师总结：满足两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值，或者两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值的问题，能 够用基本不等式解决.2 分钟 归纳小结 同学们，我们知道，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方 程、不等式的基础.基本不等式是一种重要而基本的不等式类型,在中学数学知识体系中 也是一个非常重要的、基础的内容.今天我们学习了以下几个重要的内容： 1 、基本不等式就是两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，对于 > 0, > 0, ≤ ; 2 、学会用分析法利用不等式的性质证明基本不等式；并且在圆中利用已知线段的 大小关系记住基本不等式的几何特征； 3 、明确代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一 个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说就是“一正、二定、三相等 ”.

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