实数与数轴上的点之间可以建立一一对应的关系。

在上图中，点 AAA 与数 333 对应，点 BBB 与数 −2-2−2 对应等。

可以看到当数轴上一动点 PPP 从左向右移动时，它对应的实数就从小到大变化。

这就是说，数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。

例如，点 AAA 位于点 BBB 的右边，则点 AAA 对应的实数 333 比点 BBB 对应的实数 −2-2−2 大，即 3 -33>−3、0>−20 > -20>−2、3>03 > 03>0、−3>−4-3 > -4−3>−4、4>34 > 34>3 等。

在上图中，设 AAA、BBB 为任意两个实数，则 AAA、BBB 在数轴上的位置有且只有以下三种：

（1）点 AAA 在点 BBB 右侧（上图(1)）；（2）点 AAA 与点 BBB 重合（上图(2)）；（3）点 AAA 与点 BBB 左侧（上图(3)）；

相应的，实数 AAA、BBB 的关系为：

（1）A>B\Huge A > BA>B （2）A=B\Huge A = BA=B （3）AB\Huge A - B > 0 \hArr A > BA−B>0⇔A>BA−B=0⇔A=B\Huge A - B = 0 \hArr A = BA−B=0⇔A=BA−B ca>b,b>c 则 a>ca > ca>c。

要证 a>ca > ca>c，只要证 a−c>0a - c > 0a−c>0。

因为 a−c=(a−b)+(b−c)a - c = (a - b) + (b - c)a−c=(a−b)+(b−c) 又由 a>b,b>ca > b, b > ca>b,b>c ，即 a−b>0,b−c>0a - b > 0, b - c > 0a−b>0,b−c>0 所以 (a−b)+(b−c)>0(a - b) + (b - c) > 0(a−b)+(b−c)>0 因此 a−c>0a - c > 0a−c>0 即 a>ca > ca>c

不等式的两边同时加上（或同时减去）同一个实数，不等号的方向不变。

如果 a>ba > ba>b ，则 a+c>b+ca + c > b + ca+c>b+c。

因为 (a+c)−(b+c)=a−b(a + c) - (b + c) = a - b(a+c)−(b+c)=a−b 又由 a>ba > ba>b ，即 a−b>0a - b > 0a−b>0 所以 a+c>b+ca + c > b + ca+c>b+c

如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号方向不变，如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变。

如果 a>b,c>0a > b, c > 0a>b,c>0 则 ac>bcac > bcac>bc；如果 a>b,c b,c < 0a>b,cb ，即 a−b>0a - b > 0a−b>0 所以：

不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边。

因为 a+b>ca + b > ca+b>c 所以 a+b+(−b)>c+(−b)a + b + (-b) > c + (-b)a+b+(−b)>c+(−b) （加法法则） 即 a>c−ba > c - ba>c−b

两个或几个同向不等式，两边分别相加，所得的不等式与原不等式同方向。

因为 a>ba > ba>b 所以 a+c>b+ca + c > b + ca+c>b+c （加法法则） 因为 c>dc > dc>d 所以 b+c>b+db + c > b + db+c>b+d 因此 a+c>b+da + c > b + da+c>b+d （传递性）

两个或几个两边都是正数的同向不等式，把它们的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。

因为 a>ba > ba>b ，且 b>0b > 0b>0 所以 ac>bcac > bcac>bc （乘法法则） 因为 c>dc > dc>d ，且 b>0b > 0b>0 所以 bc>bdbc > bdbc>bd 因此 ac>bdac > bdac>bd （传递性）