p.s.说明：在前面对于***矩阵↔线性变换***的等价关系建立了一定的直观印象后，对于空间基变换其实是较好理解的。读者此时可以进行回想，如果对于前面几个部分的内容掌握不太充分，可以对于视频或博文进行回顾。 因为基变换本身就可以从矩阵变换的角度来理解，故此部分的笔记内容会较为简略。

一组基就确定了对向量进行表示的空间，而向量的表示就是基于这组基进行坐标表示。 选定的基不同，空间自然就不同，那么向量表示的坐标自然就不同。

我们的目标就是通过探讨一组基于一组基之间的线性变换关系，从而可以推导出两组不同基下的坐标表示之间的关系。

①将一组基A下的坐标转换成另一组基B下的坐标—— 核心思想就是将A中的基用B对应的坐标系进行表示，将该向量在A下的坐标表示变换成关于基A的线性组合，进行代换即可。

②如果熟悉用列空间的角度来看待矩阵和矩阵乘法，不难发现，上面对于两个列向量进行线性组合的求解，本质上就可以等价为一个矩阵乘法。 矩阵的每一个列就是参与线性运算的列向量，而各个系数组成的列向量就是参与乘法运算的列向量。

③要得到在一个非标准坐标系下进行变换的矩阵复合描述 往往先将非常规坐标系的表示转换成常规坐标系，再在常规坐标系下进行相应的转换，最后再转变回到非常规坐标系中。

②向量留在原向量张成的空间中 颜色表示的相应直线的含义与之前相同，不过这里黄线和粉线的方向是一致的，说明原向量经过矩阵变换之后只是进行了放缩。

如果存在一个向量经过矩阵变换之后，只是进行了数值的放缩，那么根据线性性，所有处在同一直线上的向量经过矩阵变换都只会进行相同比例的放缩。

①特征向量：那些能够在变换之后依然留在原向量所张成空间中的向量 ②特征值：留在原向量空间中的向量进行放缩的比例因子

总的来说，对一个矩阵考察其特征值和特征向量，可以从一个更加直观的角度去理解一个矩阵对应的变换和其意义。

①旋转变换（E.g.三维） 对于一个旋转矩阵，其特征向量应该就是其旋转轴所指向的方向，而其特征值应该只能为1。 因为对一个三维空间进行旋转变换，是不会影响空间中任意一个向量的伸缩情况的。

②更好地理解线性变换 按照前面几篇文章的观点，我们把矩阵和线性变换进行了关联。但是在矩阵中，矩阵的每一列就是变换之后基向量的坐标表示，这样的表示方式对坐标系有很大程度的依赖。 然而，理解一个线性变换，往往不需要很多坐标系的相关知识。 更好的方法反而是求解出矩阵的特征值和特征向量，从而可以对一个变换对应的矩阵有更好的解释。

③平面旋转矩阵不具有特征值和特征向量↔ 对应的特征根为复数

①特征值和特征向量以及变换矩阵构成的矩阵等式

②类型转换

③求解齐次方程的非零解 只有当这个矩阵对应的变换是把一个更高维的空间映射到一个较低维的空间的时候，对应的解向量才有非零解。 此时，同样对应着，该矩阵的行列式应该为0.

对角矩阵的解读：

当某一个矩阵的特征向量足够张成某一空间时，就可以通过基变换将当前的坐标系转换到相应的特征基张成的空间系下。 在这个坐标系下进行一些运算会更加便捷，在得到指定的结果后，通过逆变换转换回当前坐标系就可以高效地完成计算。