引言 闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统的极点在复数平面上的位置决定。 分析和设计系统时确定闭环极点（即特征根）在复平 面的位置是十分有意义的:

通过求解高阶代数方程确定闭环极点是困难的； 闭环系统的极点与系统的参数有关，如开环增益等；

希望找到一种不用求解代数方程，就能确定当某个参 数变化时极点的位置的方法： 1948年伊文思（Walter R.Evans)提出了根轨迹法； 根轨迹方法能够确定当某个参数变化时，闭环极点在 复数平面上移动的轨迹。

什么是根轨迹 K从0变成0.5时,一个极点从0沿着实轴移动到-1点，另一个极点从-2沿着实轴移动到-1点。 K从0.5变为1时，极点一个向上移动1，另一个向下移动1。当K变为无穷大时，极点分别向上下移动到无穷。图中的红线就是这个系统的根轨迹。

根轨迹定义：根轨迹是指当系统开环的某个参 数（如开环增益）从零变化到无 穷大时，闭环特征方程的根在复 平面上移动的轨迹。

根据所绘制的根轨迹图可知该系统： （1）稳定性：当开环增益从零变到无 穷时，上面图中的根轨迹不会 越过虚轴进入右半s平面，因 此对所有的K值都是稳定的。 （2）动态性能 K>0时，两个极点始终位于平面的左半平面，系统稳定； 0 m + 2 n>m+2 n>m+2，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根之和。 在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。 所以，当开环增益K 增大时，若闭环某些根在S平 面上向左移动，则另一部分根必向右移动，如一个根在（0，0）一个根在（-2，0），若（0,0)变化为（-0.1,0），则(-2,0)也就会变化为（-1.9，0）。

从-3是向左则从0就得向右。

广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的 所有根轨迹。通常，将负反馈系统中K*变化时 的根轨迹叫做常规根轨迹。

对闭环特征方程 进行等效变换，将其写为如下形式： 其中， A A A为除 K ∗ K^* K∗外系统任意的变化参数。

（1）两个系统的闭环特征方程相同； （2）原系统开环零点是 1 / T d 1/T_d 1/Td​ ，而 T d T_d Td​是等效系统的开环增益； （3）等效系统开环增益变化的根轨迹，就是原系统开环零点变化的根轨迹。

在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方 法来改善系统性能。 1、对系统稳定性的改善 设系统开环传递函数为: 式中Z1为附加的开环实数零点。取z1 为不同值时，根轨 迹如下：

分析：由图可见，当开环极点位置不变，而在系 统中附加开环负实数零点时，将使系统的根 轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且 这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度 而加强。如果附加的开环零点不是负实数零 点，而是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点的作用完全相同。

2、对系统动态性能的改善

当根轨迹增益为 K ∗ K^* K∗时， 复数极点S1 和S2 为闭 环主导极点，实数极点 S3距虚轴较远，为非 主导极点。在这种情况 下，闭环系统近似为一 个二阶系统，具有良好 的动态性能。

在图中，实数极点 s 3 s_3 s3​为闭环主导极点，此时系 统等价于一阶系统，其动 态过程虽然可能单调， 但却具有较慢的响应速度 和较长的调节时间。也就 是说，此时稳态性能优于 z = − 3 z=-3 z=−3时，但动态性能 却变差了。

结论： 只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置 选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同 时得到明显的改善。

1、稳定性 如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是 稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环 零点位置无关。 2、运动形式 如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极 点，则时间响应一定是单调的； 如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是 振荡的。

3、超调量 超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 σ 1 / w d = ζ / 1 − ζ 2 \sigma_1/w_d=\zeta/\sqrt{1-\zeta^2} σ1​/wd​=ζ/1−ζ2 ​ ，并与其它闭环零、极点接 近坐标原点的程度有关。

4、调节时间 调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数 极点的实数绝对值 σ 1 = ζ w n \sigma_1=\zeta w_n σ1​=ζwn​ ，如果实数极点距虚 轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间 主要取决于该实数极点的模值。

5、实数零、极点影响。 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量 增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调 量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的 程度而加强。

6、偶极子及其处理 如果零、极点之间的距离比它们本身模值小 一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点 的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其 影响必须考虑。

7、主导极点 在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点 的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主 导极点，凡比主导极点的实部大3-6倍以上的其他 闭环零、极点，其影响均可忽略。