前几天，我看到了李永乐老师关于圆锥曲线的科普视频，就想起了我去年在微博上(我的微博名同b站名)也发过相关的文章。

       2017年的五一假期，我回到家里，在卧室的抽屉里无意间看到了我的小笔记本，上面都是我高三时记载的一些偏怪难和超纲的知识点。我随便翻了翻，脑子里也荡起了回忆的涟漪。

       有一面的内容是：证明圆柱的斜截面是椭圆。其实，这是高中数学某本教材上的拓展内容，老师没有讲，考试也不考。不过，我向来都会留意教材上的拓展内容。正好，我对这个内容很感兴趣。因为书上仅仅给了一些提示，但没有详细的证明过程，我记得自己当时始终没完成“圆锥的斜截面是抛物线”的证明，算是自己的一个心结。

       返校后，我想解开这个遗留许久的心结。我在网上查找了一些资料，复习了相关知识，再次开始了一段奇妙的数学之旅。

       我本以为网上会有完整的证明过程，结果没有找到，但我找到了一些提示，这给了我很大的帮助。实际上，我这次很快就完成了“圆锥的斜截面是抛物线”的证明。可能是因为这四个命题的证明过程高度相似，并且集中精力、一气呵成地思考这些问题也让我能够迅速触类旁通的缘故吧。而高中时，我是拿课外时间做的，思路经常受到其它事情的阻碍。

1.圆柱的斜截面是椭圆。

2.圆锥的斜截面是椭圆。（截面与底面的二面角α＜母线与底面的夹角β＜90°）

3.圆锥的斜截面是双曲线。（90°≥α＞β）

4.圆锥的斜截面是抛物线。（α=β）

备注：1.圆柱的斜截面是指截面不与底面平行（否则截面是圆），且不与底面垂直（否则截面是矩形）的平面。

2.圆锥的斜截面是指截面不与底面平行（否则α=0°，截面是圆），且不过顶点（否则截面是等腰三角形）的平面。

       在理工科高等数学（考研数学一）中，我们学习过空间解析几何，可以轻而易举地写出圆柱（形如x²+y²=R²）、圆锥（形如x²+y²=z²）和平面（形如Ax+By+Cz+D=0）的方程。如果联立两个方程来判断所截曲线的类型，显然参数太多，计算量非常庞大，作为严谨证明绝非明智之举。

       但有一个特殊情况，我们可以这样尝试一下：当截面与圆锥底面垂直，即α=90°时，不妨令y=1，所截曲线的方程就是x²-z²=1，根据高中的解析几何知识易知它就是双曲线。

        作为严谨证明，我们采用传统的几何方法，并且都是中学的几何知识！需要强调的是，四个证明过程中都要贯彻以下两个核心思想：

1.Dandelin双球。它是指与截面和圆柱（或圆锥）都相切的球，也是四个证明的共同途径。

2.化立体为平面。一是抓住立体图形的关键截面，二是抓住关键点或线段在该截面上的投影。

       以下重点介绍第一个命题的证明。

       首先强调一下，椭圆有两种定义。证明思路是证明截面所截曲线满足椭圆第一定义（即PF1+PF2=定值）。

       关键步骤和过程，我来具体解释一下：

【第一步：作双球】双球的半径与圆柱相等，且球心均在圆柱的中心轴上。球O1、O2与截面分别相切于点F1、F2。（后续证明可以发现，这两个切点就是椭圆的焦点！）

【第二步：在所截曲线上任取一点P】连接PF1、PF2；过点P作圆柱的母线，分别交球O1、O2于点M、N。

【第三步重点：等量变换PF1、PF2】如上图所示，根据切线长定理，PF1=PM；PF2=PN。因此，PF1+PF2=MN=O1O2。

【第四步：抓住关键截面，化立体为平面】这时，还需要双向延长线段F1F2，分别交所截曲线于点A、B。（后续证明可以发现，这两个点就是椭圆的长轴端点！） 如上图所示，在这个关键截面上，利用初中的几何知识就能证明O1O2=AB=PF1+PF2。

       根据椭圆第一定义，所截曲线是椭圆。证毕！

备注：这里的φ即为下图中的角BAE，且cos φ=AE/AB=e。  

       接下来，我们看看椭圆的准线在哪，以其中一条准线L1为例。

【第一步：作出点A所在母线】如上图所示，该母线交球O1于点C；点P1也在该母线上，且与点P同高。

【第二步重点：延伸两平面交于一线】延伸椭圆所在平面与平面O1CM，相交于直线L1。（后续证明可以发现，这条直线就是椭圆的一条准线！）

【第三步，作投影】作P在直线L1上的投影P'；作线段PP'在直线AB上的投影P0Q。

【第四步：抓住关键截面，化立体为平面】根据椭圆第二定义，椭圆上任意一点到某焦点的距离与该点到同侧准线的距离之比等于离心率e，即只需证明PF1/PP'=e=F1F2/AB。如上图所示，仍然是同一个截面。因为PF1=PM=P1C，PP'=P0Q，所以我们已经把要证明的内容全部转化到这个关键截面上了。同样，利用初中几何知识就能轻松完成准线的证明。

       下面三个证明我就不详细介绍了，只强调一下重点步骤和过程。

【与证明一的不同之处】虽然PF1+PF2仍然等于MN，但不等于O1O2。

       化立体为平面后，利用好圆锥的截面是等腰三角形这一特点，再利用初中几何知识就能完成后续的证明。

       而准线的位置及其证明与证明一类似。

       我去年在草稿纸上写证明过程时，发现画出来的图太丑了，就没上传我的证明过程。不过，证明过程与证明二高度相似，只需注意双曲线第一定义与椭圆第一定义的差异。

       证明四应该是四个证明最简单的一个了，实在不知道为什么我高中时这个证明竟然没搞出来。

       因为抛物线只有一种定义，所以也只用作一个球。注意：准线是两平面延伸后的交线。

       可能很多人都知道圆柱的斜截面是椭圆、圆锥的斜截面是三种圆锥曲线，但了解其证明方法的人或许寥寥无几。我应该庆幸于自己在高中时没有错过这么精彩的证明过程，不禁感叹数学之美妙，世界之神奇。