12.9 

利用定积分求曲线围成的面积

武汉外国语学校

汪家硕

一．复习回顾：

1.

定积分的几何意义：当

(

)

0

f

x



时，积分

(

)

b

a

f

x

dx



在几何上表示由

(

)

y

f

x



、

x

a



、

x

b



与

x

轴所围成的曲边梯形的面积。

当

(

)

0

f

x



时，由

(

)

y

f

x



、

x

a



、

x

b



与

x

轴所围成的曲边梯形位于

x

轴的下方。

2.

牛顿—莱布尼茨公式

定理（微积分基本定理）如果

(

)

f

x

是区间

[

,

]

a

b

上的连续函数，并且

'

(

)

(

)

F

x

f

x



，则

(

)

(

)

(

)

b

a

f

x

dx

F

b

F

a







二．曲线围成的面积

1.

设

f

和

g

是区间

[

,

]

a

b

上的连续函数且对任意的

[

,

]

x

a

b



有

(

)

(

)

f

x

g

x



，则直线

x

a



和

直

线

x

b



以

及

曲

线

间

围

成

的

面

积

可

以

表

示

为

：

(

)

(

)

(

)

(

)

b

b

b

a

a

a

f

x

dx

g

x

dx

f

x

g

x

dx













例

1.

求抛物线

2

y

x



和直线

2

y

x



所围成的区域面积。

解：先求出

P

点坐标。

解方程组

2

2

y

x

y

x













0

2

x

x













P

点的坐标是

(2,

4)

。

所求的面积