本文转载自：关于极坐标 - 知乎

极坐标其实很简单，但总有同学在应用的时候出现问题。所以干脆从头到尾来梳理一下极坐标的相关问题。

这个笔记有点长，所以还是弄个目录，虽然没法跳转但也好过一直拉拉拉拉。。。

简单地说，极坐标就是：用角度和长度描述位置的坐标系。结合上图明确这三点：

有了上述三个要素，空间中任意一点都可以用序对 (r,θ) 表示。

将一个点 P(r,θ) 转换为平面坐标系 P(x,y) 其实非常简单，只需要一个三角形，如下图：

图中所示的方法可应用于极坐标和直角坐标的相互转换。上图描述的方式还可以总结为以下的表达式：

(O-1){x=rcosθy=rsinθ⇔{r=x2+y2θ=arcsin⁡yr=arcsin⁡yx2+y2

但是要特别注意：上式中 θ 的值仅对上图展示的情况(P在第I象限)成立(此时θ∈[0,π2]，同时该点不能为原点)。对于其它象限则需要根据具体情况进行处理。

用极坐标来描述圆的方程是最为合适的，所以从这个例子开始。考虑一个圆的方程：

x2+y2=a2,(a>0)

先考虑该圆上任意一点 P(x,y) ，其极坐标表示为 P(r,θ)。由（1）式可知：

r=x2+y2=a

注意，由于在圆上 θ 可以取 [0,2π) 中任意值，因此在书写方程时可以不写出 θ 的取值范围，可以理解为它的取值不受限制。因此圆在极坐标中的方程就可以写为：

(C-1)r=a,(a>0)

圆其实可以看作是椭圆的一种特殊情况，由于也有圆周的特点，所以它也很适合用极坐标来表示。

但是要注意：这里我们要讨论的情形仍然是在极坐标和直角坐标的原点重合的前提下。

此时我们设一个对称中心在原点上的椭圆：

(xa)2+(yb)2=1,(a,b>0)

在极坐标中任意一点可以写成：

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ

从几何意义不难看出 θ 就是点 P 在极坐标下的极角，因此在极坐标下有以下式子：

r(θ)=ab(acos⁡θ)2+(bsin⁡θ)2=b1−(ecos⁡θ)2

直线方程在极坐标系下的描述其实相对复杂一些，因为它的几何形态并不适合用长度和角度来描述。但研究它在极坐标下的坐标是很好的练习。

(L-1)θ=θ0

从极坐标的几何意义上十分好理解：长度任意，对极角为 θ0（常数）的点集。这当然就是直线，而 θ0 就是它对应直角坐标系中的倾斜角。

但上述记法也有一个缺点：它描述的直线必须通过极坐标极点，且该极点和直角坐标中的原点重合。否则就无法将直角坐标系中的点和极坐标中的点对应起来。

为了描述更一般的情况，我们来讨论一下极坐标下的原点和直角坐标系下原点不一致时的情况。

假设直角坐标系中 Q(x0,y0) 极坐标的极点，如下图所示：

这样一来就只需要考虑直线上任意一点P(x,y)相对该参考点Q(x0,y0)的情况。在上图蓝色三角形中两个直角边的长度分别是y−y0和x−x0，注意此时若长度出现负数我们则认为它表示P点在Q点的左下方。

很明显，点 P 的直角坐标如果用对应极坐标中的参数写出就是下式：

(L-2)P(x,y)≡(x0+rcos⁡θ,y0+rsin⁡θ)

不难想到，对给定的直线方程，其对应的倾斜角自然可以直接算出，或者利用斜率公式 tan⁡θ=k 算出 sin⁡θ,cos⁡θ。而在该直线上的任意一点 A(xA,yA)，也可以由上式算出其对应的 rA。

注意，此时看似更加复杂，但从代数运算上来讨论其实仍然十分简单。此时描述的情况就是本文第二节描述的情况，也可以总结成上图。此时直角坐标系中任意一点 P(x,y) 在极坐标下有（1）式成立。那么假设 P 在以直线 L 上：

Ax+By+C=0

只需要将（1）式代入直线方程：

A⋅(rcos⁡θ)+B⋅(rsin⁡θ)+C=0

可以很容易得到 r=r(θ) 的具体表达式：

(L-3)r=−CAcos⁡θ+Bsin⁡θ

注意这个式子也并不能描述所有的情况，因为分母有可能为 0。这种情况下：

Acos⁡θ+Bsin⁡θ=0⇒(tan⁡θ=)sin⁡θcos⁡θ=−AB

而注意到一般式直线方程中 −AB=k （k 是直线的斜率，注意上面图中可以看出此时 θ 不是倾斜角）。由几何意义不难想到，只有在1种情况下可能出现：直线过原点时。而这时，我们只需要回到上述情形中的定义即可，即将直线写为：θ=θ0。

由于这段的叙述较长，我们小结一下。直角坐标系的直线在极坐标下可以写为：

下面要讨论的问题在微积分中时常会遇到。

这个问题是圆的极坐标中最麻烦的一个，由于圆心不在原点，所以必须要考察清楚一些关键的参数，否则方程描述的图形就并是圆。

我们考虑下图：

圆 C(xC,yC) 在直角坐标系中的任意位置，它的方程可以写为：

(AC-1)(x−xC)2+(y−yC)2=a2

此时我们仍然以 x 轴的右半段作为极坐标的轴，那么该圆上任意一点 P(x,y) 的坐标可以写为：

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ

注意，此时r 是该点到原点的距离 |OP|， θ 是从 x 轴到 OP 的角度。因此上述坐标并不是常规的圆的参数方程。

由于 P 点在圆上，因此可以将其代入圆的方程：

(AC-2)(rcos⁡θ−xC)2+(rsin⁡θ−yC)2=a2

该方程即是圆 C 在极坐标下的方程。但该方程中很难直接看出以下两个问题：

从这个方程上很难直接看出因此需要进一步从几何上分析。

先考虑 r 的取值：连接OC并延长至与圆相交，延长线与圆的交点记为 R1，而线段 OC 与圆的交点记为 R2。容易证明OR1,OR2 分别是 O 与圆上的点的最长和最短的线段。又知道 |OC|=xC2+yC2，那么易得：

{|OR1|=|OC|+a=xC2+yC2+a|OR2|=|OC|−a=xC2+yC2−a

因此 r 的取值范围为：

(AC-3)xC2+yC2−a≤r≤xC2+yC2+a

而 θ 的取值范围则更为复杂。仍然从几何上出发：过 O 分别作圆的两条切线，上、下方切点分别记作 A1,A2。同样容易证明∠A1Ox,∠A2Ox 分别是 θ 的最大、最小值。最麻烦的问题就在于此，要算出这两个角度则必须算出 A1,A2 的坐标。那么就要求解以下二元二次方程组：

{(xA−xC)2+(yA−yC)2=a2xA2+yA2=xC2+yC2−a2

那么解出 A1,A2 的坐标后，就可以利用反三角函数算出图中 θ1,θ2 的值了。另外，还需要注意在不同象限时这两个点的计算方式也不一样。在上图所示的情况中，这个范围可以写成：

arctan⁡yA2xA2≤θ≤arctan⁡yA1xA1

例如下图所示的情况，圆心在 x 轴上：

此时 r 和 θ 的取值范围就简单得多。由几何意义容易得到 r 的取值范围为：

xC−a≤r≤xC+a

而 θ 的取值范围为：

arcsin⁡(−axC)≤θ≤arcsin⁡(axC)

上图左边的情况，圆心在 x 轴，半径为 a。这种情况在考虑点的极径 r 时最容易出错。此时要考虑的三角形是以圆的直径为斜边的直角三角形，那么显然此时极径 |OP| 就是 r=2acos⁡θ。对应地，右图展示的情况就是圆心在 y 轴的情形，此时要注意另外一个问题是 P 点对应的角度是 θ ，要注意∠POy 的角度刚好是 π2−θ。因此由图示的三角形可以得出极径 |OP|=r=2asin⁡θ。

椭圆的情况如下图所示：

类似对圆的讨论，对任意一椭圆：

(x−xCa)2+(y−yCb)2=1,(a,b>0)

仍然用极坐标公式进行替换，可以得到：

(E-1)(rcos⁡θ−xCa)2+(rsin⁡θ−yCb)2=1

但这里对 r,θ 的取值范围的讨论更为复杂，需要用到大量平面解析几何中的技巧。当然如果椭圆的对称中心若在直角坐标系中的某一个轴上，问题会简单一些。但本文不展开讨论。

一般在讨论极坐标下的圆锥曲线时，通常是考虑极心在其焦点最为方便：

圆锥曲线的统一定义： 一动点 P 到某一定点 F 的距离与其到一定直线 ℓ 的距离之比为一定常数 e （离心率），该动点 P 的轨迹为圆锥曲线。

由这一定义，再考虑极心在某一焦点（上述动点），可以很容易地写出圆锥曲线的统一极坐标方程。考虑下图：

图中 F 为定点（焦点），同时也作为极坐标的极心。直线 ℓ 为定直线（准线）。PQ⊥ℓ 并交于点 Q ，ℓ 与 x 轴交于点 R 。那么根据定义：

于是根据定义：

e=|PF||PQ|=rp+rcos⁡θ

根据上式可以写出 r=r(θ)，于是得到极坐标下圆锥曲线的统一方程：

(CO-1)r=ep1−ecos⁡θ

当 e 取不同值时可对应不同的圆锥曲线，总结如下：

圆锥曲线圆椭圆抛物线双曲线方程离心率公式的取值范围 圆锥曲线  方程 离心率公式e 的取值范围  圆x2+y2=a200 椭圆x2a2+y2b2=11−b2a200)

这个区域在极坐标下最为简单：

(RC-1){x=rcos⁡θy=rsin⁡θ,(0≤r≤a0≤θ