小学课本中圆的面积公式推导

如上图所示，在小学数学教材中，将圆分解成无数等分的小扇形，当每一分足够小时，每个小扇形可以看成一个三角形，在将这些三角形拼成近似的长方形，长方形的面积等于圆的面积。这是一种朴素“化圆为方”的思想，把未知问题转换成已知问题去求解。其中的近似处理也会给大家产生一种“圆的面积公式是近似公式”的嫌疑。

上述方法只是为了帮助小学生们理解公式，并不是严格的推导，事实上，圆的面积公式经过了一系列的演化，修正才变成今天的样子。从4000多年前，古巴比伦、古埃及的近似公式，到古希腊亚里士多德提出并严格证明，我国古代数学家刘徽用割圆术对圆周率精确计算，再到近现代利用极限，三角函数，微积分多种方法的验证，经过漫长了的过程。接下来我们将回顾圆的面积产生过程，重点研究亚里士多德对圆的面积公式贡献。

1.公元前2000年前的古巴比伦人为了准确丈量各种形状土地的面积，以收取赋税，出现了对圆的面积计算的近似方法。根据泥版YBC7302上的记载，圆面积和周长之间的关系式为：

古巴比伦圆的面积的公式

公式中C为圆的周长（下同）。

对比今天的公式，我们发现其计算出的面积比实际大约4.7%。四千多年前有公式推导已属不易，不光需要缜密的思维，还依赖精确的测量技术，所以这么大的误差也可以理解。

2.古埃及的数学知识记录在出土的两卷纸草书书上，纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间。纸草书给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。用公式可表示为：

古埃及圆的面积公式

公式中d为圆的直径（下同）。

根据此公式计算出的圆周率约为3.1605，误差约为0.6%，可见已经非常精确了。古埃及人能建造出那么宏大的金字塔，其先进的数学知识及精密的测量技术功不可没。

上面两个近似公式都将圆的面积表示为已知正方形面积的一部分，即“化圆为方”。

(一).阿基米德与圆

公元前约225年，阿基米德发表了一篇论文《圆的测定》，其中第一个命题就对圆的面积做了透彻的分析和严格的证明。《圆的测定》开篇断言：任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等。

图1，阿基米德关于圆面积和定义三角形面积对应关系

*下文提到的定义三角形即为上图中的直角三角形。

(二).阿基米德所处时代背景：

古希腊人并没有代数学，也没有实数的感念，也不存在π，所以圆的面积只能用与其面积相同的三角形的面积来表示。

欧几里得的《几何原本》已经为几何证明做好了铺垫。《几何原本》开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。

阿基米德的算法是在古希腊通用的笨拙的系统中完成的，其中分数源自古埃及奇怪的表示和处理方法：

古埃及分数表示及计算方法

4.当时的几何家已知，不论圆的大小如何，圆的周长与直径的比为常数（显然这个常数就是后来的 π）。

k1=C/d

5.《几何原本》已经证明了圆的面积正比于半径的平方。即存在常数k，使得对任意圆都有：

k2=S圆/r2

但他们都没有发现k与π的关系。

（三）阿基米德证明用到的断言（容易证明或不证自明，部分出自《几何原本》，部分为阿基米德的杰出创新）

断言一：任意圆内接正多边形的面积小于圆的面积。

圆的内接正多边形

设 δn=S圆- Sn>0

Sn为圆内接正n边形的面积，δn为圆与其内接正多边形面积之差，即图中阴影部分的面积。

断言二：δ2n