思考题详解之人教版《数学》三年级下册：一共有多少个长方形

　　2019年1月31日星期四

　　题目是人教版《数学》三年级下册“数学广角——搭配”一章练习二十二的第5题，图如下：

人教三数下册104页

　　整理如下：

　　“

　　下图中一共有多少个长方形？

图１

　　”

　　这道题如果“就题论题”，解答简单，不值一提。我只是想到了其一般性的拓展，比如：

图２

　　上图中一共有多少个长方形？

　　为了防止陷入无谓的特例之争，我们声明“长方形”包含“正方形”，也就是说，在某个凑巧的地方，出现了一个正方形，也是算做长方形的。

　　显然，这时“数的方法”应该叫停了。如果我们以“列×行”命名上述图形的话，分别可以简洁地表达为“2×2”、 “4×6”的图形。第一个数字表示每一列有m格，第二个数字表示每一行有n格，或者说是“m行n列”。对于一般的“m×n”的图形，您可以想到：m、n取值的任意性，以及当m、n取较大的非零整数时，我们更需要的是“计算的方法”。

　　1.下图中一共有多少条线段？

　　2.下图中一共有多少个角？

　　3.下图中一共有多少个长方形(含正方形)？

　　这些题型都是小学数学中常见的，当然具体表现也不止这些。它们的道理都是一样的，计算方法都是：

　　1＋2＋3＋4＝10

　　粗糙地概括是：一共分成了几小段(格、张口)，就从1加到几。

　　如果一共分成了100小段或100个小张口或100个小格，则一共有：

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋……＋99＋100＝(1＋100)×100÷2＝5050

　　不错，这就是高斯小时候发明的算法，其一般公式如下：

　　以及下文要用到的：

　　及更多的一般情况：

　　这些内容可参阅之前写的图文《数学活动“探索图形”的解答和引申》。

　　以上面的图1“2×2”、 图2“4×6”拓展出一般的图“m×n”，其列可看成是“一条截成了m小段的线段”， 其行可看成是“一条截成了n小段的线段”。随意从列中取一线段作左右边，从行中取一线段作上下边，即得到一个任意的长方形。如图：

　　列一共可以取出：

　　1＋2＋3＋4＋……＋m＝(1＋m)×m÷2

　　行一共可以取出：

　　1＋2＋3＋4＋……＋n＝(1＋n)×n÷2

　　m行n列的图一共有：

个长方形。

　　(重要程度★★★★★)

　　于是，图1一共有长方形：

　　2×2×(2＋1)×(2＋1)÷4＝9(个)

　　图2一共有长方形：

　　4×6×(4＋1)×(6＋1)÷4＝210(个)

　　这个变式可以概括为“格子图中数正方形”。格子图的特点是每小格都是一样大小的正方形，而且现在只数正方形，不数长方形。

　　上面4×4的格子图中一共有多少个正方形？

　　这是一个极有趣的数列：

　　1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝4×(4＋1)×(2×4＋1)÷6＝30(个)

　　计算方法应用的就是上面的“公式2”。

　　道理是：

　　1×1表示：

　　2×2表示：

　　3×3表示：

　　4×4最简单，用一个图，不同颜色表示每一个格子：

　　想必，只此一例，您便对于“n×n”的格子图中所有正方形的数量了然于胸了，这个结论就是公式2：

　　或许，您更期望解决一般的“m×n”格子图中有多少个正方形？

　　设：

　　k＝min｛m，n｝，即取m、n中较小的一个值；

　　a＝|m－n|，其实就是m、n的差，取正值，因为我们不清楚m＜n或m＞n(m＝n的特殊情况上面已经讨论)。实际讨论中，可以只取一种情况，因为将m＜n的格子图转置一下，就可以由m行n列变为n行m列，二者实质上是同一种情况。

　　这时，您会得到一个有趣的数列：

　　1×(1＋a)＋2×(2＋a)＋3×(3＋a)＋……＋k×(k＋a)

＝(1×1＋2×2＋3×3＋……＋k×k)＋a×(1＋2＋3＋……＋k)

＝k(k＋1)(2k＋1)÷6＋a×k(k＋1)÷2

＝k(k＋1)(2k＋3a＋1)÷6

　　(重要程度★★★★★)

　　或许，您需要拿起纸笔好好验算一下了。

　　以“4×7”的格子图中一共有多少个正方形为例。

　　其中：

　　①1×1的正方形：

　　有：4×7＝4×(4＋3)＝28(个)

　　②2×2的正方形(田字格)：

　　有：3×6＝3×(3＋3)＝18(个)

　　③3×3的正方形：

　　有：2×5＝2×(2＋3)＝10(个)

　　④4×4的正方形：

　　有：1×4＝1×(1＋3)＝4(个)

　　一共有：28＋18＋10＋4＝60(个)

　　用公式验证一下：

　　k＝min｛m，n｝＝min｛4，7｝＝4

　　a＝|m－n|＝|4－7|＝3

　　k(k＋1)(2k＋3a＋1)÷6＝4×(4＋1)×(2×4＋3×3＋1)÷6＝4×5×18÷6＝60(个)

　　结果一致。

　　是不是够折腾，哈哈。

　　再会。