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2021-2022学年北师大新版九年级上学期数学期末练习试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（　　）A． B． C． D．2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（　　）A．3.2米 B．4.8米 C．5.2米 D．5.6米4．已知关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，则实数a的值可能是（　　）A．1 B．1.5 C．2 D．2.55．如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（　　）A．（﹣3，2） B．（﹣3，1） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CE＝m．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（　　）A．3 B．2 C． D．57．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若EC＝1，则△ABC移动的距离是（　　）A． B．﹣1 C． D．1﹣8．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（　　）A．1 B．m C．m2 D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．若2sin（A+20°）＝，则锐角∠A＝　 　．10．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是　 　．11．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例函数的解析式为 　 　．12．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　 　元时，才能使每天所获销售利润最大．13．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，点E是OB的中点，点P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为 　 　．14．已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝6，E是BC边上一点且CE＝2BE，F是CD边的中点，连接AF、BF、DE相交于M、N两点，则△FMN的面积是　 　．三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）四．解答题（共9小题，满分74分）16．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．17．（6分）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．18．（6分）新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件；（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？19．（6分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？（结果保留根号）（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）20．（8分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．（1）求证：AB＝AE；（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；②设＝k，试求k与m满足的关系．22．（10分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）A型 600 900 200B型 800 1200 400根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．23．（10分）[归纳探究]把长为n （n为正整数） 个单位的线段，切成长为1个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次？我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系．如图，当n＝1时，最少需要切0次，即m＝0．如图，当n＝2时，从线段中间最少需要切1，即m＝1．如图，当n＝3时，第一次切1个单位长的线段，第二次继续切剩余线段1个单位长即可，最少需要切2次，即m＝2．如图，当n＝4时，第一次切成两根2个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切2次，即m＝2．如图，当n＝5时，第一次切成2个单位长和3个单位长的线段．将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切3次，即m＝3．仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当n＝16时，所需最少切制次数的方法，如此操作实验，可获得如下表格中的数据：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4当n＝1时，m＝0．当1＜n≤2时，m＝1．当2＜n≤4时，m＝2．当4＜n≤8时，m＝3．当8＜n≤16时，m＝　 　．…根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：　 　当n＝1180时，m＝　 　[类比探究]由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法解决如下问题．把边长n （n为正整数） 个单位的大正方形，切成边长为1个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次？不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系．通过实验观察：当n＝1时，从行的角度分析，最少需要切0次，从列的角度分析，最少需要切0次．最少共切0，即m＝0．当n＝2时，从行的角度分析，最少需要切1次，从列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，当1＜n≤2时，m＝2．当n＝3时，从行的角度分析，最少需要切2次，从列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，当2＜n≤4时，m＝4．…当n＝8时，从行的角度分析，最少需要切3次，从列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，当4＜n≤8时，m＝6．当8＜n≤16时，m＝　 　…根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：　 　[拓广探究]由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问题．问题（1）：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　 　次．问题（2）：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　 　次，问题（3）：把棱长为n （n 为正整数） 个单位长的大正方体，切成边长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　 　次．请用m的代数式表示线段n的取值范围：　 　．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过A点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，BE∥PQ？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：从这个几何体的左面看，所得到的图形是长方形，能看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，因此，选项D的图形，符合题意，故选：D．2．解：由（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，得2cosA＝，1﹣tanB＝0．解得A＝45°，B＝45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．3．解：设旗杆的高为x，有，可得x＝4.8米．故选：B．4．解：∵关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴1﹣4（a﹣1）＞0，∴a＜，∴a＝1符合题意，故选：A．5．解：如图点P为位似中心，∴＝，即＝，解得，PB＝3，∴点P的坐标为（﹣3，2），故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝m，∠A＝∠D＝∠C＝90°．∵将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，∴BC'＝BC＝6，∠BC'E＝∠C＝90°，C'E＝CE＝m，DE＝CD﹣CE＝m﹣m＝m，∴DE＝C'E，∴∠DC'E＝30°，∴∠AC'B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴AB＝BC'×sin∠AC'B＝6×＝3，即m＝3；故选：A．7．解：由平移的性质可知，EH∥AB，∴△CHE∽△CAB，∵重叠部分的面积是△ABC面积的一半，∴＝，∵EC＝1，∴BC＝，∴BE＝BC﹣EC＝﹣1，即△ABC移动的距离是﹣1，故选：B．8．解：设点A、B在二次函数y＝x2图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2＝0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3＝∴ω＝x1+x2+x3＝x3＝故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．解：∵2sin（A+20°）＝，∴sin（A+20°）＝，故A+20°＝60°，则锐角∠A＝40°．故答案为：40°．10．解：∵通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，∴估计摸到红球的概率为0.6，故答案为：0.6．11．解：∵图中阴影部分的面积等于4，∴正方形OABC的面积为4，∵P点坐标为（2a，a），∴2a×2a＝4，∴a＝1（a＝﹣1舍去），∴P点坐标为（2，1），把P（2，1）代入y＝，得k＝2×1＝2，故答案为y＝．12．解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，则y＝[20﹣4（x﹣9）] （x﹣8）＝﹣4x2+88x﹣448＝﹣4（x﹣11）2+36，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．13．解：如图，取OD的中点H，连接HP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝2，OB＝OD＝3，∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，∴OH＝，OE＝，HP＝OC＝1，HP∥AC，∴EH＝3，∠DOC＝90°，∴EP＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作FG∥BC，过点M作MH⊥FG于点H，交AD于点S，过点N作NP⊥FG于点P，交BC于点Q，如图：∵矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，∴BC＝6，CD＝8，∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝2，∵FG∥BC，F是CD边的中点，∴FG＝CE＝×4＝2，∴FG＝BE，又∵∠FNG＝∠BNE，∠NFG＝∠NBE，在△FNG和△BNE中，∴△FNG≌△BNE（AAS），∴GN＝EN，FN＝BN，∴NQ＝CF＝CD＝2，∴PN＝PQ﹣NQ＝4﹣2＝2，∴S△FNG＝FG×PN＝×2×2＝2；∵FG∥BC，BC∥AD，∴FG∥AD，∴△FMG∽△ADM，∴MH：MS＝FG：AD＝2：6＝1：3，∴MH＝1，∴S△FMG＝FG×MH＝×2×1＝1，∴△FMN的面积是：2+1＝3．故答案为：3．三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）15．解：如图，正方形AEFG为所作．四．解答题（共9小题，满分74分）16．解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）；（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），如图：；（3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．17．解：根据题意画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，∴合唱《大海啊，故乡》的概率是，∴合唱《红旗飘飘》的概率是，∵＜，∴游戏不公平．18．解：（1）20+2×2＝24（件）．故答案为：24．（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．当x＝20时，40﹣x＝20＜25，∴x＝20舍去．∴定价＝80﹣10＝70（元）答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．19．解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80nmile，∴△ABM是等腰直角三角形，∴BM＝AM＝AB＝40（nmile）答：渔船航行40nmile与小岛B的距离最近．（2）∵BM＝40nmile，MC＝40nmile，∴，∴∠MBC＝60°，∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，∴∠BCM＝30°，∴BC＝2BM＝80（nmile），答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80nmile．20．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（6，0），B（0，4），∵线段AB的中点是C，∴C（3，2）．将C（3，2）代入y1＝（x＞0），得k＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y1＝；（2）∵将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，∴a＝﹣，D（10，0）．把D（10，0）代入y＝﹣x+b，解得b＝，∴直线EF的解析式为y2＝﹣x+．由，解得或，∴E（1，6），F（9，）．如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，则P点的横坐标为3．将x＝3代入y2＝﹣x+，得y＝，∴CP＝，∴S△ECF＝S△ECP+S△PCF＝××（3﹣1）+××（9﹣3）＝+8＝；（3）由图象可得，不等式y1＜y2的解集为1＜x＜9．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE；（2）解：①∵＝m＝，∴AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝90°，当AC＝4时，AB＝4，∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×4＝16；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝mBC，∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，∵S△AOD＝×b＝，∴＝（﹣）bh×＝k，∴2﹣m＝k，∴m+k＝2．22．解：（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，解得0≤x≤60，故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；（2）x的取值范围为20≤x≤60．理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，解得：x＝20或x＝70．要使y≥234000，得20≤x≤70；∵0≤x≤60，∴20≤x≤60；（3）设捐款后每天的利润为w元，则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，对称轴为，∵0＜a≤100，∴，∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，当x＝40时，w最大，∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，解得a＝30．23．解：由截取一维线段所得到的图标可知当8＜n≤16时，m＝4，故答案是：8．然后观察左列n的值与右列m的值的关系可以得到2m﹣1＜n≤2m故答案是：2m﹣1＜n≤2m当n＝1180时，通过计算可知符合条件的m的值等于11．故答案是11．熟悉了截取的过程很容易得到当n的值相等时，截取二维图形的次数是一维图形的次数的2倍，截取三维图形的次数是截取一维线段的次数的三倍．当8＜n≤16时，根据截取线段时次数是4，所以截取二维图片时次数是8故答案是：8．截取一维线段时用m的代数式表示线段n的取值范围：2m﹣1＜n≤2m所以，截取二维图片时，m的代数式表示线段n的取值范围是：＜n≤．同理，截取三维立体图形时，n为4时，要切6次，故答案是：6．n为8时，要切9次，故答案时9．用m的代数式表示线段n的取值范围：＜n≤，故答案是＜n≤24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∵PE∥DC，∴△APE∽△ADC，∴＝，即＝，解得：y＝﹣x+3，即y关于x的函数关系式为：y＝﹣x+3；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝5，由（1）得：△APE∽△ADC，∴＝＝，即＝＝，解得：PE＝﹣x+3，AE＝﹣x+5，∴QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝﹣x+5，∵BE∥PQ，∴∠PQE＝∠BEQ，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∵PE∥DC，∴PE∥AB，∴∠PEQ＝∠BAE，∴△PEQ∽△BAE，∴＝，即＝，解得：x＝或x＝0，∴t为0s或s时，BE∥PQ；（3）存在，理由如下：分两种情况：①当Q在线段AE上时，QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝﹣x+5，（i）当QE＝PE时，﹣ x+5＝﹣x+3，解得：x＝；（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝﹣x+5，解得：x＝；（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，如图1所示：则FE＝QE＝（﹣x+5）＝，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝＝，∵cos∠AEP＝＝＝，解得：x＝；②当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示：∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣x+5，PE＝﹣x+3，∴﹣x+3＝x﹣（﹣x+5），解得：x＝；综上，存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，x为s或s或s或s．

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