周期信号的傅里叶级数表示(离散时间) |
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注:本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写,主要是为了自己考研,准备专业课。 转载于:(https://blog.csdn.net/Explorer_day/article/details/80098508) 一、离散时间周期信号的傅里叶级数表示 注:一个离散时间周期信号的傅里叶级数是有限项级数,而在连续时间周期情况下是一个无穷级数。 一)成谐波关系的复指数信号的线性组合 1、复指数是周期的,周期为N。而且,由下式 上式给出的信号集合中只有N个信号是不同的,具体而言: 2、利用 二)周期信号傅里叶级数表示的确定 1、离散时间傅里叶级数对的推导: 教材P134 2、离散时间傅里叶级数对: 3、若k取任何一组N个相连的整数,则有 即离散时间傅里叶级数系数是以周期N重复的 4、离散时间博里叶级数另一种表达式: 1)x[N]是一个周期为N的实周期信号,其傅里叶级数系数为ak,设ak用笛卡尔坐标表示为 若N为奇数,则有 若N为奇数,则有 二、离散时间博里叶级数性质 1、离散时间博里叶级数性质 2、若x[n]是一个周期信号,周期为N,其博里叶级数系数记为ak,那么就写成 一)相乘 在离散时间情况下,假设 二)一次差分(对应于连续时间中的微分性质) 若 1、离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理是 帕斯瓦尔定理表明:一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的平均功率之和。 当然,在离散时间中只有N个不同的谐波分量。同时,由于ak也是周期的,周期为N,所以上式右边的求和可以在任何k的N个相继值上进行。 三、傅里叶级数与线性时不变系统 1、一个线性时不变系统对一组复指数信号的线性组合的响应具有特别简单的形式。具体而言, 1)在连续时间情况下,若x(t)=est是一个连续时间线性时不变系统的输入,那么其输出就为y(t)=H(s)est,其中H(s)为 2)在离散时间情况下,若x[n]=zn是一个离散时间线性时不变系统的输入,那么其输出就为y[n]=H[z]zn,其中H(z)为 2、当s或z为一般复数是,H(s)和H(z)就称为该系统的系统函数。 1)对于连续时间信号与系统而言 现在考虑是的RE{s}=0这一种特殊情况,这样s=jw,est就具有ejwt的形式。这个输入是在频率w上的一个复指数。具有s=jw的系统函数[ 即H(jw)被看成w的函数 ]就称为该系统的频率响应,它由下式给出: 4、对于连续时间情况。令x(t)为一个周期信号,其傅里叶级数表示为 若{ak}是输入x(t)的一组傅里叶级数系数,那么{ak H(jkw0)}就是输出y(t)的一组傅里叶级数系数。 这就是说,线性时不变系统的作用就是通过乘以相应频率相应点上的频率响应值来逐个改变输入输入信号的每一个傅里叶系数。 5、在离散时间情况下,令x[n]为一个周期信号,其傅里叶级数表示为 典型例题: 例题一: 例题二: 例题三: 例题四: 例题五: 例题六: |
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