同济高等数学:第一章第二节 数列的极限 |
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一、数列极限的定义二、利用定义证明极限三、收敛数列的性质
本小节我们主要把目光聚焦在数列极限的定义上面,以及如何利用定义证明极限存在。最后简单介绍下收敛数列的性质。
一、数列极限的定义
这个定义是令很多学习者头大的事情。接下来我们主要对这个定义加以解释。 首先我们得知道,数列的极限解决的是什么问题? 注: 两个数之间的接近程度可以用两个数之间差的绝对值来表示。差的绝对值越小,这两个数就越接近。 那么对于 它表示就是数列的第n项与极限值之间的距离。这个距离小于任意给定一个正数 那么文字表述就是,数列第n项与极限值的距离小于一个任意给定的特别小的正数。这就表明数列已经很接近极限。 但又出现一个小问题。 数列第n项与极限值很接近的前提是n趋近于无穷大,但不确定n到底是多少? 在书上这个是根据一个例子推出来的。 那么,对应着就是定义里的这句话: 这里我们在用文字整体的对定义叙述一遍。(这是个人的理解,如果错误欢迎评论) 如果一个数列存在极限,那么任意给定一个特别小的正数,总会存在一个正整数N,当n大于N时,也就是取N以后的项时,数列与极限值的距离都会小于任意给定的特别小的正数,那么就表明数列的极限成立。 我们需要注意两点:这里不再详细解释,因为根据上边我整个的解释肯定能看懂 。 二、利用定义证明极限这个时候我们就应该明白,根据定义判定数列极限的关键,在于找到这个正整数N。 上例题!!!!!
再来一个例子!!!
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