合数的全部因数怎样算 |
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合数的全部因数怎样算 小学生在分析合数的因数时,最简单有效的方法就是“从小到大、成对罗列”。如48可分解出10个因数、5对: 1 2 3 4 6 48 24 16 12 8 这样做,一次便得两个因数,并且不会遗漏、不会重复。但当合数很大、特别是质因数很大、因数很多时,分析因数就比较麻烦了。 合数Z,它有多少个因数呢?首先要分解出质因数A 、B 、C …,再计算因数的个数、最后才确定有哪些因数。 《数论》的“因数个数定理”是: Z=Aα Bβ Cγ,则Z的因数个数有S个。 S=(α+1)×(β+1)×(γ+1) , 其中 α、β、γ 是质数A、B、C的指数。 如1800=23×32×52 ,质因数是2、3、5,因数个数S=(3+1)×(2+1)×(2+1)=4×3×3=36个 那么这36个因数是哪些呢?凭从小到大、一个个的判断就很麻烦。可作以下简化。 因为23 即表示1800中有因数20 、 21、 22、 23 、可以用矩阵 (20 21 22 23 ) 表示。同样,32 可用 (30 31 32 ) 表示,52 可用(50 51 52) 表示。这样, Z=Aα Bβ Cγ 中因数可用 (20 21 22 23 ) (30 31 32 ) (50 51 52 ) 表示,或 (1 2 4 8 ) ( 1 3 9 ) (1 5 25 ) 表示。 三个矩阵相乘,可分解出具体因数。先是(1 2 4 8 ) 、( 1 3 9 ) 相乘,有:
1 3 9 1 1 3 9 2 2 6 18 4 4 12 36 8 8 24 72 再与 (1 5 25 ) 相乘,有:
1 3 9
1 3 9 2 6 18
*1=
2 6 18 4 12 36
4 12 36 8 24 72
8 24 72
1 3 9
5 15 45 2 6 18
*5=
10 30 90 4 12 36
20 60 180 8 24 72
40 120 360
1 3 9
25 75 225 2 6 18
*25=
50 150 450 4 12 36
100 300 900 8 24 72
200 600 1800 得36个因数、18对: 1 2 3 4 5 8 9 10 12 15 18 20 24 25 30 40 45 1800 900 600 450 360 225 200 180 150 120 100 90 75 72 60 45 36 可见,问题的关键是质因数分解,这有什么办法呢。
做一道习题吧。 有A、B两数相乘AB=2800,且已知其中A的因数个数,比B的因数个数多一个,问A、B各是多少。 解: 2800=24×52×7,因数共有5×3×2=30个。如A的因数个数30,则B的因数个数1…或: A的因数个数 B的因数个数 A比B的因数多1 判断 30 1 29 不合题意 15 2 13 不合题意 10 3 7 不合题意 6 5 1 合题意 A=52×7=175 B=24=16 AB=175×16=2800 其中B的因数个数5,说明质数指数为4。正好,2800=24×52×7中有24,所以B=24=16。剩下A=52×7,因数有(2+1)×(1+1)=3×2=6,也合题意,所以A=52×7=25×7=175 |
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