在本文中，您将学习如何研究函数的可微性，即函数是否可微。此外，我们还将看到函数的可微性和连续性之间的关系。最后，我们将研究分段函数的可微性。

函数在一点的连续性和可导性关系如下：

然而，该定理的逆命题是错误的：仅仅因为函数在一点连续，并不意味着它在该点总是可微的。

您还可以查看函数在某个点与其图形表示是否可微：

x=0 处的平滑点：此阶段的连续且可微的函数。

x=2 处的角点：函数在此阶段连续但不可微。

一旦我们知道了函数的连续性和可微性之间的关系，我们就会了解如何研究分段定义函数的可微性。

您可以通过计算该点的横向导数来判断分段函数在该点是否可微：

不可扣除

是的，它可微分于

注意：对于在一点可微的函数，该函数必须在该点连续。因此，在计算侧导数之前，我们需要保证函数在该点连续。如果您不知道如何研究某一点的连续性，您可以在以下链接中了解它是如何完成的：

➤请参见： 函数在一点的连续性

现在让我们看一个示例，了解如何计算在某一点分段定义的函数的导数：

两部分的函数在各自的区间内连续，但需要看函数在临界点x=2处是否连续。为此，我们求解函数在该点的横向极限：

临界点处的横向极限给了我们相同的结果，因此函数在 x=2 点处连续。

一旦我们知道函数在 x=2 处连续，我们将研究函数在该点的可微性。为此，我们计算分段定义的函数的侧导数：

我们现在评估临界点处的每个侧导数：

两个横向导数给出了相同的结果，因此函数在 x=2 处可微，导数值为 6：

另一方面，如果横向导数给了我们不同的结果，则意味着该函数在 x=2 处不可微。换句话说，此时导数将不存在。

最后，请记住，此过程对于研究绝对值函数的可微性也有效，因为绝对值函数也可以分段定义。您可以在此处了解如何将绝对值函数转换为块：

➤请参阅： 如何分段定义具有绝对值的函数

研究以下分段函数的连续性和可导性：

两部分的函数是连续的，但我们必须看函数在临界点x=1处是否连续。为此，我们求解函数在该点的横向极限：

临界点处的两个横向极限给出相同的结果，因此该函数在 x=1 处连续。

一旦我们知道函数在临界点连续，我们就会研究它在同一点是否可微。因此我们计算横向导数：

我们评估 x=1 处的两个侧导数；

侧导数在 x=1 点处不重合，因此函数在该点不可微。

分析各节中定义的以下函数的可微性和连续性：