阅读提示：阅读本文需要一些基本的泛函分析的知识！！！

各位知友，大家好啊！我又来了~

今天上午更新更新的滤波其实是前几天9.15秋季苹果发布会那晚开始编辑的，由于公式比较多就没有弄完，好在今天早上终于更新完了，嘻嘻(●'◡'●)

下午呢，正好有时间，而且前两天刚好在学习几种导数，故今天下午想把这几类导数讲清楚一点，并且搞清楚它们的关系~

Frechet可微\Rightarrow Gateaux可微；\\ Hadamard可微\Rightarrow Gateaux可微.

总结：Frechet导数就是我们微积分中一元导函数的推广（或叫一般化）.

一般一元导数的定义我们之前也提过，具体的定义可以参见之前的文章：

看完一般微积分中一元导函数的定义，我们再看看Frechet 导数的定义：

设V和W是两个赋范线性空间，而且U\subset V是V的一个开子集.\\ 如果存在一个有界线性算子A:V\rightarrow W满足如下条件：\\ \lim_{||h||\rightarrow0}\frac{||f(x+h)-f(x)-Ah||}{||h||_{V}}=0.\\ 那么我们就称作函数f:U\rightarrow W在x\in U处Frechet可微.

由于上述极限就是一个普通的极限，完全可以\\利用无穷小量来改写其等价形式，等价定义如下：\\

一阶展开成立： f(x+h)=f(x)+Ah+o(h).\\如果存在满足上式的唯一的一个线性算子A:V\rightarrow W，\\那么我们可以称函数f:U\rightarrow W在x\in U 点处\\的Frechet导数为A,写作Df(x)=A.

所以看完这两个的定义，经过对比，不难发现，除了一元函数 f 由 \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 推广到了 U\rightarrow W ，然后此时A就由一个常数函数转化为了一般的有界线性算子.

我们知道在一元微积分中，可微 \Leftrightarrow 可导 \Rightarrow 连续.

那么同样地，Frechet可微 \Rightarrow 连续.(而且在泛函里面，一个线性算子连续等价于它是有界线性算子.)

除此之外，我们一般的一元函数导数满足线性性以及链式法则，我们的Frechet导数也都满足.

了解完了Frechet导数，我们接下来继续了解Gateaux导数：

总结：Gateaux导数就是我们微积分中方向导数的推广（或叫一般化）.

由于我们之前没有在个别文章中介绍过方向导数，所以这里稍微介绍一下它的定义：

对于n元函数f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},以及n维向量\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n),\\ 如果极限 \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(\mathbf{x}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{x})}{h}存在，则称这个极限\\为f在\mathbf{x}处沿着\mathbf{v}的方向导数，记作\nabla_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})

接下来可以看一下Gateaux导数的定义：

设X与Y是局部凸的拓扑向量空间（比如Banach空间），\\U\subset X为开子集，以及F:X\rightarrow Y,如果极限\\ dF(u;\psi)=\lim_{\tau\to0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}存在，\\则称这个极限为F在u\in U 处沿着方向\psi\in X的Gateaux导数

相比上述方向导数，除了函数的定义域与值域更一般化以外，其他几乎没有变化.

讲完了上述两个导数，它们存在这样的关系：Frechet可导 \Rightarrow Gateaux可导，而且此时两个导数结果相等.反过来就未必成立.

接下来就轮到我们今天最后一个导数了，叫Hadamard导数：

总结：Hadamard导数是Gateaux导数的进一步推广.

Hadamard导数跟Gateaux导数比较相似，我们可以看一下它的定义：

设\mathbb{D}和\mathbb{E}是两个Banach空间，\phi:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{E},\\如果存在\phi_{\theta}^{'}:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{E}使得\frac{\phi(\theta+t_{n}h_{n})-\phi(\theta)}{t_{n}}\to\phi_{\theta}^{'}(h)\\对所有满足h_n\to h以及t_n\to 0的序列都成立. \\则称\phi:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{E}在\theta\in \mathbb{D}沿着方向h\in\mathbb{D}Hadamard可微

由于形式上与Gateaux导数的类似，不难看出它俩的关系：

Hadamard可微\Rightarrow Gateaux可微 ，并且结果相等.

好了，本期内容到这里就基本结束了，感谢各位知友的阅读，如果觉得笔者总结的还到位的话，不放点个赞支持一下ε=ε=ε=(~￣▽￣)~

另外也欢迎大家在评论区或者私信交流鸭~

我们下期再见啦~

参考文献：维基百科