力/力矩做功表示为

W=F\delta W=M\theta

作用一个变化的力或力矩时，当力和位移、力矩与角位移的关系确定时，则功可由积分求得：

W=\int^\delta _0Fd\delta W=\int^\theta _0Md\theta

当力或力矩沿着位移线性变化，从0增大到F或M，功可以表示为力-位移曲线下的三角形面积，可表示为：

W=\frac{1}{2}Fδ ，W=\frac{1}{2}Mθ

如果功的积分图示一个矩形，没有系数1/2。

1）桁架杆(轴线拉伸或压缩应变能）

当一根杆件轴向受力时将会产生变形，并产生应变能 U 。如果该杆为弹性的（胡克定律适用)，当力从零线性增大到F，同时杆件长度改变了 \Delta L ，此时产生的应变能 U 等于:

U=\frac{F}{2} \Delta L\\

其中\Delta L=\frac{FL}{AE}\\ 根据上式可将应变能 U 表示为U=\frac{F}{2}\times \frac{FL}{AE}=\frac{F^2L}{2AE}\\ 当轴力 F 沿着轴线变化时，可利用上式求出长为 dx 的微段内的应变能

dU=\frac{F^2(x)dx}{2EA}\\ 整个杆件的应变能为U=\int^l_0\frac{F^2(x)}{2EA}dx\\ 如果轴向力的大小保持不变，杆件长度改变了 \Delta L ，不考虑外部影响（例如温度变化)，杆件产生的应变能等于

U=F\times \Delta L\\ 注意：当杆件轴向变形发生时，内力保持不变， U 的表达式中没有系数1/2.

2）梁（弯曲应变能）dU=\frac{M}{2}d\theta\\

d\theta=\frac{Mdx}{EI}\\dU=\frac{M}{2}\frac{Mdx}{EI}=\frac{M^2}{2EI}dx\\

U=\int^L_0\frac{M}{2}\frac{Mdx}{EI}=\int^L_0\frac{M^2}{2EI}dx\\

扭转应变能

若作用于圆轴上的扭转力偶矩从零开始缓慢增加到最终值。在线弹性范围内，扭转角 \varphi 与扭转力偶矩 T 间的关系是一条斜直线

\varphi =\frac{TL}{GI_P}\\U=\frac{1}{2}T\varphi=\frac{T^2L}{2GI_P}\\

U=\int^L_0\frac{T^2L}{2GI_P}\\ 纯剪切应变能U=\frac{1}{2}\tau \gamma \\

\tau=G \gamma \\

U=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{\tau^2}{2G}\\ 一般实心截面的细长梁：剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。

我们可以由能量守恒定律采用功-能法建立计算结构上某一点位移的方程:

W=U\\ 式中 W —施加在结构上的外荷载所做的功； U ——结构上各部分产生的应变能。

从零线性增大到 P 的荷载，作用于桁架上一点，得出计算该点位移的方程:

\frac{P}{2}\delta=\sum\frac{F^2L}{2AE}\\ 其中 P 和 \delta 在同一直线上，求和符号表示各杆件中的应变能要相加。

物体的应变能为

U=W=\frac{1}{2}F_1\delta_1+\frac{1}{2}F_2\delta_2+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2}F_n\delta_n\\

线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。这一结论也称为克拉贝依隆原理。

因为位移 \delta_1,\delta_2,\delta_3,\cdot\cdot\cdot 与外力 F_1,F_2,F_3,\cdot\cdot\cdot 之间是线性关系，所以如把上式中的位移用外力来代替，应变能就成为外力的二次齐次函数。同理，如把外力用位移来代替，应变能就成为位移的二次齐次函数。故叠加原理在变形能计算中不能使用。

关于变形能计算的讨论：

整个杆件的应变能为：

U=\int_l\frac{F^2(x)}{2EA}dx+\int_l\frac{M^2(x)}{2EI}dx+\int_l\frac{T^2(x)}{2GI_p}dx\\

式中， I ——梁横截面对中性轴的惯性矩； I_p ——圆杆截面对圆心的极惯性矩；

这是指圆截面的情况。若截面并非圆形，则上式右边第三项中的 I_p 应改成 I_t 。

结构因外力作用而存储的应变能U等于外力做功，它为 F_1,F_2,\cdot\cdot\cdot,F_i, \cdot\cdot\cdot 的函数，即

U=U(F_1,F_2,\cdot\cdot\cdot,F_i, \cdot\cdot\cdot)\\ 根据位移互等定理可得

\delta_i=\frac{\partial U(F_1,F_2,\cdot\cdot\cdot,F_i, \cdot\cdot\cdot)}{\partial F_i}\\ 可见，若将结构的应变能表示为载荷 F_1,F_2,\cdot\cdot\cdot,F_i, \cdot\cdot\cdot 的函数，则应变能对任一载荷 F_i 的偏导数，等于 F_i 作用点沿 F_i 方向的位移 \delta_i 。这便是卡氏第二定理。

相似地，可以把应变能写成是位移 \delta_1,\delta_2,\cdot\cdot\cdot,\delta_i, \cdot\cdot\cdot 的函数，则应变能对任一位移 \delta _i 的偏导数，等于位移方向上作用的载荷 F_i ，这便是卡氏第一定理。

F_i=\frac{\partial U(\delta_1,\delta_2,\cdot\cdot\cdot,\delta_i, \cdot\cdot\cdot)}{\partial \delta_i}\\ 卡氏第一和第二定理中的力和位移都是广义的。特别指出，卡氏第一定理适用于线性和非线性的弹性结构，但是卡氏第二定理仅适用于线弹性结构。

卡氏第二定理应用于:

1）横力弯曲的应变能，应用卡氏第二定理,得

\delta_i=\frac{\partial U}{\partial F_i}=\frac{\partial }{\partial F_i}(\int_l\frac{M^2(x)}{2EI}dx)=\int_l\frac{M(x)}{EI}\cdot \frac{\partial M(x)}{\partial F_i}dx\\ 横截面高度远小于轴线半径的平面曲杆，受弯时也可仿照直梁计算。

2）桁架的每根杆件都是受拉伸或压缩，若析架共有 n 根杆件，则析架的整体应变能应为 \delta_i=\frac{\partial U}{\partial F_i}=\sum_{j=1}^n\frac{F_{Ni}l_i}{A_jE}\frac{\partial F_{Nj}}{\partial F_i}\\ 3）产生拉（压）、扭转与弯曲的组合变形圆截面等值杆

\delta_ i=\int_l\frac{F(x)}{EA}\frac{\partial F(x)}{\partial F_i}dx+\int_l \frac{M(x)}{EI} \frac{\partial M(x)}{\partial F_i}dx+\int_l\frac{T(x)}{GI_p}\frac{\partial T(x)}{\partial F_i}dx\\\\

附加载荷法：若所求位置处无外力（力矩）作用此处时，在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力 P_s 或集中力偶 M_s ；或一对力或一对力偶，此时应变能为： U=U(F_1,F_2,\cdot\cdot\cdot,F_n,F_s/M_s)\\ 由卡氏定理得：

\delta_s=(\frac{\partial U}{\partial P_s})|_{P_s=0}或\delta_s=(\frac{\partial U}{\partial M_s})|_{M_s=0}\\

若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，则表示与附加力的方向相反。

dW=F_N d(\Delta l)^*+Md\theta^*+F_Sd\lambda^*+Td\varphi^*\\ 积分上式得 W=\int F_N d(\Delta l)^*+ \int Md\theta^*+\int F_Sd\lambda^*+\int Td\varphi^*\\ 两种方式求得的总功虚功表达式应相等，即

F_1\delta_1^*+F_2\delta_2^*+\cdot\cdot\cdot+\int q(x) \delta(x)^*dx+ \cdot\cdot\cdot=\int F_N d(\Delta l)^*+ \int Md\theta^*+\int F_Sd\lambda^*+\int Td\varphi^*

上式表明，在虚位移中，外力所作虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功。这就是虚功原理。也可把上式右边看作是相应于虚位移的应变能。这样，虚功原理表明，在虚位移中，外力虚功等于杆件的虚应变能。

在导出虚功原理时，并未使用应力–应变关系，故虚功原理与材料的性能无关，它可用于线弹性材料，也可用于非线性弹性材料。虚功原理并不要求力与位移的关系一定是线性的，故可用于力与位移成非线性关系的结构。

利用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法。

1\cdot\delta=\int [\bar{F}_Nd(\Delta l)+\bar{M}d\theta+\bar{F}_Sd\lambda+\bar{T}d\varphi](单位力法)\\

式中： \bar{F}_N,\bar{M},\bar{F}_S,\bar{T} ——单位力引起的内力； d(\Delta l),d\theta,d\lambda,d\varphi ——原状态，真实载荷引起。适用于线性、非线性系统。

根据功能法推导过程：

以抗弯为主的杆件，上式右边代表轴力和剪力影响的第一项、第三项和第四项可以不计，于是有 \delta=\int_l\bar{M}d\theta\\ 只有轴力的拉伸或压缩杆件，单位力法公式只保留第一项（轴力为常量）

\delta=\int_l\bar{F}_Nd(\Delta l)=\bar{F}_N\int_ld(\Delta l)=\bar{F}_N\Delta l\\

受扭杆件某一截面绕轴线的扭转角 \delta ，单位力法公式为 \delta=\int_l\bar{T}d\theta\\ 若材料是线弹性的，则杆件的拉伸、弯曲、扭转变形分别是 \Delta l=\frac{F_Nl}{EA}\\d\theta=\frac{d}{dx}(\frac{dw}{dx})=\frac{dw^2}{dx^2}dx=\frac{Mdx}{EI}\\d\varphi =\frac{T}{GI_P}dx\\ 因此可得到， \delta=\int_l\frac{M(x)\bar{M(x)}}{EI}dx\\\delta=\int_l\frac{T(x)\bar{T(x)}}{GI_P}dx\\\delta=\frac{F_N\bar{F}_Nl}{EA}\\

上列诸式统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分。注意，上式三式只适用于线弹性结构。

采用虚功法计算某个方向的位移，在该点施加一个和所求位移同向的力，该力称为虚力。

虚力 Q 及其引起的反力和内力组成 Q 力系，和该力系相关的力、功、位移等都加上下标 Q 。可任意设定虚力的大小，但通常采用 1kN 的力来计算位移，以及 1kN\cdot m 的力矩来计算转角——（单位载荷法）

结构上实际作用的载荷称为 P 力系，和 P 力系相关的内力、功、位移都加上下标 P 。结构在实际荷载作用下产生变形，外力虚功 W_Q 即虚力在结构真实位移下所做的功。根据能量守恒原理，结构中会产生大小相等的虚应变能 U_Q ，即 W_Q=U_Q(Q\delta _P=F_Q\Delta L_P)\\ 结构中产生的应变能 U_Q 等于虚力引起的内力和实际荷载（如 P 力系）引起的结构构件的变形（如轴心受力构件长度的改变)的乘积。

W_Q=Q\delta_P\\

式中： Q ——虚力的大小； \delta_P —— P 力系引起的在力 Q 方向上的位移或者位移分量。

U_Q=F_Q\Delta L_P\\ 式中：F_Q —— 虚力 Q 引起的杆件内力；\Delta L_P —— P 力系引起的杆件长度的变化

根据能量守恒原理，即

W_Q=U_Q\\ 可得单杆件桁架的虚功方程为：

Q\delta_P= F_Q\Delta L_P\\ 在上式两边加上求和符号，即适用于任意类型桁架的通用虚功方程

\sum Q\delta_P= \sum F_Q\Delta L_P=\sum F_Q\frac{F_P L}{AE}\\ 由上式可知， Q 力系提供内力及外力，而结构的位移和变形是由 P 力系引起的。“虚”字即表示虚力作用下的位移是由其他作用（如 P 力系）引起的。

虚力的方向可以任意选取，根据计算结果的符号来确定真实的位移方向：正号表示和虚力的方向一致，负号表示和虚力的方向相反。

1）温度变化和制造误差引起的桁架变形

如果桁架的长度变化同时由载荷、温度改变和制造误差引起，则虚功方程中的 \Delta L_P 等于各种影响之和，即

\Delta L_P=\frac{F_PL}{AE}+\Delta L_{temp}+\Delta L_{fabr}\\ 式中： \Delta L_{temp} ——由温度升高或降低引起杆件长度的变化； \Delta L_{fabr} ——由制造误差引起的杆件长度变化。

任意类型桁架的通用虚功方程

\sum Q\delta_P= \sum F_Q(\frac{F_P L}{AE}+\alpha \Delta TL+\Delta L_{fabr})\\ 式中： \alpha ——热膨胀系数 ； \Delta T ——温度变化；

2）支座沉降引起位移的计算

沉降会导致杆件的转动和节点的移动。如果结构的静定的，支座移动时不产生应力，因为结构可以自由的适应新支座的位置；然而，在超静定结构中，微小的支座沉降会引起很大的内力，这些力的大小是杆件刚度的函数。

虚功法为计算支座移动引起的转角和位移提供了一种简便的方法。

计算支座移动的位移时，在要求的位移方向上设一虚力，虚力及其反力组成 Q 力系，当结构的某个支座发生移动时，虚力及其反力都要做功。由于静定结构在支座移动时构件不发生变形，所以虚应变能为0。

3）非弹性性能

当杆件应力超过材料的比例极限 \sigma_{PL} ，进入非弹性范围时，要应用虚功法，需要材料的应力-应变曲线。先计算杆件中的应力，再由应力求出应变，最后根据基本关系求出长度的改变 \Delta L_P

\Delta L_P=\varepsilon L\\

剪力和弯矩都能使梁产生变形，但是剪力所引起的梁的变形所占的比例通常较小(一般小于弯曲变形的1%)，因此本书中将其忽略（设计惯例)，而仅考虑弯矩引起的变形。如果梁较高（跨高比在2和3之间）、梁腹板较薄或者梁材料的剪切模量较小（如木材），则剪切变形可能会很大，设计时应当考虑。

当梁变形后，虚力 Q （以及支反力，如果支座沿反力方向移动）沿着其方向移动实际位移 \delta _P ，所做的功为 W_Q

W_Q=\sum Q\delta_P\\ 当弯矩 M_Q 沿着 P 力系引起的转角转动 d\theta 时，梁产生的应变能为

U_Q=\int ^L_0M_Qd\theta\\根据能量守恒原理，可得适用于任意类型l梁和框架的通用虚功方程

\sum Q\delta_P= \int ^L_0M_Qd\theta=\int ^L_0M_Q\frac{M_P}{EI}dx\\ 式中： I ——梁横截面对其形心轴的惯性矩。

用单位力矩 Q_M 作为虚力来计算梁轴线上一点由实际荷载引起的转角 \theta_P ，外力虚功 W_Q 等于 Q_M\theta _P

∑ Q_Mθ_P =\int ^L_0M_Q\frac{M_P}{EI}dx\\

伯努利虚位移原理是一个基本的结构原理，是虚功原理的一种变化。该原理可以用作理论推导，也可以用来计算结构产生刚体位移时，其上点的位移，例如支座沉降或制造误差。伯努利虚位移原理从其表述可以发现几乎是不需要证明的，即:

如果在一组力系作用下处于平衡状态的刚体，由于外部作用产生很小的虚位移，则该力系所做的虚功 W_Q 为零。

上述中的虚位移是指结构由平衡力系以外的作用引起的实际或理论位移；并且，该虚位移必须足够小，以保证当结构从初始位置变形到最终位置时，原力系的几何布置和大小不发生大的变化。由于结构是刚性的，所以 U_Q=0 。

W_Q=U_Q=0 \ \ \ \ \ \ \sum Q\delta _P+\sum Q _m\theta_ P=0\\ 式中： Q ——平衡力系中的力； \delta _P ——和Q共线的虚位移； Q_m ——平衡力系中的力矩； \theta_ P ——虚转角位移；

应用于常温下，不沉降支座上的稳定弹性结构（如梁、桁架或框架）的麦克斯韦尔-贝蒂定理可表述为：

作用在B点处方向2上的单位载荷引起的A点处方向1上的位移分量与作用在A点处方向1上的单位载荷引起的B点处方向2上的位移分量大小相等。

一般定义桁架的位移分量 \Delta _{AB} ：表示作用在B点的力引起A点的位移； \Delta _{BA} ：表示作用在A点的力引起B点的位移。则 \Delta _{AB}=\Delta _{BA}

麦克斯韦尔-贝蒂定理也适用于转角以及转角和位移同时发生的情况：

作用在B点处方向2上的单位力矩引起的A点处方向1上的转角与作用在A点处方向1上的单位力矩引起的B点处方向2上的转角相等。

A点的力偶与B处力偶引起的A处转角方向相同（逆时针），B点的力偶与A处力偶引起的B外的转角方向也相同（顺时针)。

麦克斯韦尔-贝蒂定理的第三种表述为

作用在B点处方向2上的单位力矩引起的A点处方向1上的线位移分量与作用在A点处方向1上的单位荷载引起的B点处方向2上的转角（以rad为单位）大小相等。

更一般的，麦克斯韦尔-贝蒂定理可以用于含有两种不同支承情况的结构，该定理的上述一些应用都是如下原理的特例：

在一稳定的线弹性结构上任取一些点，力或力矩作用于其中的一些点或者所有点上，分为两个不同的力系。第一个力系在第二个力系引起的位移上所做的虚功与第二个力系在第一个力系引起的位移上所做的虚功相等。如果一个支座在任一力系作用下都发生位移，其反力应当包含在另一个力系中做功。此外，给定截面的内力也可以包含在任一力系中，即假设内力所对应的约束从结构上移除，将内力视为作用在截面两侧的外力。

\sum F_1\delta_2=\sum F_2\delta_1\\ 式中： F_1 ——表示力系1中的力或力矩； \delta_2 是力系2引起的 F_1 对应的位移。