专题1-4一文搞定反比例函数7个模型，13类题型

TOC\o1-3\h\z\u知识点梳理 2

题型一|k|模型

题型二面积模型

题型三垂直模型

题型四比例端点模型

题型五矩形模型（平行，比例性质）

题型六等线段模型

题型七等角模型

题型八反比例函数中的设而不求法

题型九反比例函数与相似相似三角形结合

题型十反比例函数与一次函数综合

题型十一反比例函数中的探究类问题

题型十二反比例函数与与几何综合

题型十三反比例函数的找规律问题

知识点梳理

【模型1】|k|模型

结论1：S矩形＝|k|：结论2：S三角形＝|k|

【模型2】面积模型（四类）

类型一

结论：

证明：

．

类型二

结论：①AO=BO，AB关于原点对称，②S△ABC=4|k|

类型三

结论：①ABCD为平行四边形，②S四边形ABCD=4S△AOB

类型四

结论：S四边形ABOC=k2－k1

【模型3】垂直模型

结论：

证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，则△BCO∽△ODA，∴

【模型4】比例端点模型

出现比例端点时可以考虑作垂线构造相似或设点坐标来转化

结论：

证明：过点D作DE⊥x轴，，

，

【模型5】矩形模型（平行性质和比例性质）

一、比例性质

如图,A,B是反比例函数y=图象上任意两点，过A、B作x轴、y轴垂线段

线段比（共线的线段之比为定值）

证明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，?∴

证明二：∵

结论：

二、平行性质

如图1、图2、图3，点A、B是反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象上的任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，连接AB、CD，则AB∥CD．

y

y

O

D

B

x

A

C

图1

y

O

D

A

x

B

C

图2

图3

O

x

A

B

D

C

y

下面以图1为例来证明（图2、图3证法类似）：

法一：面积法（等积变形）

如图，易知S△ACE＝S△ADE，因为两个三角形同底等高，故ED∥CA

由平行关系还可以得出其它性质：，(平行线分线段成比例)

补充

简证

简证

证明一:由比例性质可知，,,根据相似可知AB∥CD∥GF

证明二:∵

∴∴，同理可证CD∥GF

方法二：连接OA、OB，延长CA、DB交于点E

y

y

O

D

B

x

E

A

C

则OC＝DE，OD＝CE

由k的几何意义可知S△AOC＝S△BOD

，

，

又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD

∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD

方法三：延长CA、DB交于点E

y

y

O

D

B

x

E

A

C

设，，则

又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD

∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD

补充拓展：矩形模型中的翻折

如图，矩形OABC顶点A，C分别位于x轴，y轴正半轴，反比例函数在第一象限图象交矩形OABC两边于D，E点，将△BED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处，则EO=EF

【模型六】等线段模型

如图1、图2，点A、B是反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象上的任意两点，直线AB交y轴于点C，交x轴于点D，则AC＝BD．

x

x

y

B

A

C

D

O

图1

x

y

B

A

C

D

O

图2

证明：作AE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F

由平行性质可知AB∥EF

∴四边形CEFB和四边形AEFD均为平行四边形

∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BD

xy

x

y

B

A

C

D

O

F

E

x

y

B

A

C

D

O

F

E

【模型七】等角模型

模型一：如图，点A、B是反比例函数图象上的任意两点，直线OB交反比例函数的图象于另一点C，直线AC交x轴于点D，交y轴于点E，直线AB交x轴于点F，交y轴于点G，则∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．

A

A

B

O

x

C

y

D

F

E

G

证明：作CN∥x轴，AN∥y轴，BM⊥AN于M

A

A

B

O

x

C

y

M

N

D

F

E

G

则∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM

设A（a，EQ\F(k,a)），B（b，EQ\F(k,b)），则C（－b，－EQ\F(k,b)）

∴CN＝a＋b，AN＝EQ\F(k,a)＋EQ\F(k,b)，BM＝b－a，AM＝EQ\F(k,a)－EQ\F(k,b)

∴tan∠ACN＝EQ\F(AN,CN)＝