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第六讲 对数与对数函数课前检测成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1. 已知则的值为.2. 如果函数为奇函数，则的值为.3. 已知，的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）4. 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图像，则与的大小关系是（A） （B）（C） （D）5. 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）教学目标1.理解对数及对数函数的概念2.学会根据对数函数图像研究对数函数性质3.掌握对数的运算法则4.熟练习应用换底公式5.能够解决对数函数的实际应用知识框架知识要点引入：从指数引出对数某地有一上市公司的股票如果按照每年速度增长,那么这家公司的股票什么时候能够增长为原来的倍 什么时候能够增长为原来的倍 什么时候增长为原来的倍 上述问题实际上就是从中分别求出,即已知底数和幂的值,求指数.这是本节课学习的对数.知识点1：对数的概念一般地,如果且,那么数叫做以为底的对数（logarithm）,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.例如,由于,所以就是以为底的对数,记作;再如，由于,所以以为底的对数为,记作.通常,我们将以为底的对数叫做常用对数（common logarithm）,并把记为.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数为底数的对数,以为底的对数称为自然对数（natural logarithm）,并把记为.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当时,.由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论:负数和没有对数；.思考：请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论.典型例题考点一：指数对数互化【例1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.【练习1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.考点二：对数求值【例1】求出下列的值（1）； （2）；（3）； （4）.【练习1】求出下列式子的值（1）； （2）； （3）； （4）.【练习2】求出下列的值（1）； （2）；（3）； （4）.知识点2：对数的运算探究：我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢 设,因为，所以.根据对数与指数间的关系可得,.同样地，可以仿照上述过程，由和,自己推出对数运算的其他性质.得到对数运算性质如下：如果且,那么（1）;（2）;（3）.对数恒等式：（1）若，则，即.（2）若，则，即.典型例题考点一：对数的化简及运算【例1】求值（1）； （2）.【练习1】求值(1); (2);(3); (4).【练习2】求值计算：.【练习3】计算：.【练习4】已知,则.【练习5】若,则＝.【练习6】求出下列的值（1）; （2）;（3）; （4）.考点二：对数的表示【例1】用表示.【练习1】用表示下列各式:（1）; （2）; （3）; （4）.知识点3：换底公式探究:根据对数的定义，能否利用表示的值 那么能否利用表示且且吗 设,则,于是.根据性质（3）得,即,且,且.我们把上式叫做对数换底公式.典型例题考点一：换底公式的应用——对数的表示【例1】设,，试用、表示【练习1】设,，试用、表示.【练习2】已知，，则.考点二：换底公式的实际应用【例2】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2011年３月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） 【练习1】我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用计算工具计算并回答下列问题：（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【练习2】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是.当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达.（要求填写准确值）方法总结：取对数、化指数知识点4：对数函数引入：我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．一般地,函数且叫做对数函数（logarithmic function），其中是自变量，定义域是.探究：画出函数的图象.根据下表中的对应值表，用描点法画出函数的图象.22.5833.584思考：我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如和,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象 利用换底公式，可以得到.因为．因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象.（如右图）探究：选取底数,且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数,且的值域和性质吗 思考：对于指数函数,你能利用指数与对数间的关系,得到与之对应的对数函数吗 它们的定义域、值域之间有什么关系 一般地，指数函数,且与对数函数且互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.典型例题考点一：求对数函数的定义域【例1】求下列函数的定义域:(1);(2)且.【例2】求下列函数的定义域:（1）; （2）;（3）; （3）且.【练习2】函数的定义域是.【练习3】求下列各式中的取值范围：（1）【练习4】函数,则函数的定义域为.【练习5】已知函数.（1）函数的定义域为_______；（2）若，则________.考点二：对数函数比较大小【例1】比较下列各题中两个值的大小:(1);(2);(3)且.【练习1】比较下列各题中两个值的大小:(1); (2); (3).【练习2】设，则（ ）（A） （B）（C） （D）【练习3】若实数，则的大小关系为（ ）（A） （B） （C） （D）【练习4】已知,则从小到大的排列为.【练习5】右图中有五个函数的图象,依据图象用“”表示出以下五个量的大小关系,正确的是（A）（B）（C）（D）考点三：对数函数图象【例1】在同一直角坐标系中画出函数和的图象,并说明它们的关系.【例2】函数的图象如图所示,则可能是( )(A)(B)(C)(D)【练习1】函数与且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）（A） （B） （C） （D）【练习2】当，在同一坐标系中，函数与的图像是【例3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（B）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（C）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（D）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【练习1】函数的部分图象可能是（B） （C） （D）【练习2】函数的图象是把函数的图象沿轴先向 平移______个单位，再沿轴向______移动______个单位．考点四：对数函数的单调性【例1】判断函数的单调性.【例2】下列函数中，在上为增函数的是（A） （B）（C） （D）【练习1】已知函数在区间上是的减函数，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）【例3】求函数的单调区间.【练习1】函数的单调递增区间是.【练习2】函数的单调增区间是.【练习3】函数的图像如图所示,满足 的的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）方法总结:求解复合函数单调区间——“同增异减”.考点五：对数函数值域（最值）【例1】求函数的值域.【例2】函数的值域为的真子集，则的取值范围是______.【练习1】函数的值域是（A） （B） （C） （D）【练习2】对任意实数，都有且,则实数的取值范围是________.【练习3】设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 等于（ ）（A） （B） （C） （D）考点六：对数函数的性质——奇偶性【例1】判断函数的奇偶性.【练习1】判断函数的奇偶性【例2】函数的图像关于（A）轴对称 （B）轴对称（C）原点对称 （D）直线对称【练习1】函数（A）是偶函数，在区间上单调递增（B）是偶函数，在区间上单调递减（C）是奇函数，在区间上单调递增（D）是奇函数，在区间上单调递减【练习2】设是定义在上的奇函数，若当时，，则.【练习3】已知函数，若函数是上的偶函数，求实数的值.考点七：反函数的判定【例1】判断下列各对函数是否互为反函数.若是,则求出它们的定义域和值域:(1); (2).【练习1】在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是（A）关于轴对称 （B）关于直线对称（C）关于原点对称 （D）关于轴对称【练习2】若函数是函数且的反函数，其图像经过点，则（A） （B） （C） （D）考点八：分段函数【例1】已知函数，则=.【练习1】已知函数则的值是.【练习2】函数的值域为.知识点5：不同函数增长的差异选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？以函数和为例.通过下表做出函数图象如下图所示,可以看到,函数和的图象有两个交点.在区间上,函数的图象位于的图象之上,;在区间上,函数的图象位于的图象之下,;在区间上,函数的图象位于的图象之上,.这表明,虽然这两个函数函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数增长速度在变化.0 1 00.5 1.414 11 2 21.5 2.828 32 4 42.5 5.657 53 8 6… … …下面在更大的范围内,观察和的增长情况.0 1 02 4 44 16 86 64 128 256 1610 1024 2012 4096 24… … …一般地,指数函数与一次函数的增长差异与上述情况类似.即使的值远远大于的值.的增长速度最终都会大大超过的增长速度.探究：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗 不妨以函数和为例,通过下表做出函数图象如下图所示.0 不存在 010 1 120 1.301 230 1.477 340 1.602 450 1.699 560 1.778 6… … …思考：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较,那么仍有上述规律吗 一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增,但它们的增长速度不同．随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢．不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有.典型例题【例1】三个变量随变量变化的数据如下表:0 5 10 15 20 25 305 130 505 1130 2005 3130 45055 90 1620 29160 524880 9447840 1700611205 30 55 80 105 130 155其中关于呈指数增长的变量是.【例2】如图,对数函数的图象与一次函数的图象有两个公共点,求一次函数的解析式.拓展提升考点一：对数函数+函数的性质1. 若函数，若，实数的取值范围是(A) (B)(C) (D)考点二：对数函数与不等式【例1】若定义域为R的偶函数在上是增函数且则不等式的解集是______________【练习1】若，则实数的取值范围是_________．【例2】若，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【练习1】若，则的取值范围是 ．【练习2】解关于的不等式（为常数且）的解集。【例3】函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围（　　）(A) (B) (C) (D)【练习1】若函数，且对定义域内的所有恒成立，则实数的取值范围是__________________．【练习2】已知函数，（1）求函数的定义域和值域；（2）设函数，若不等式无解，求实数的取值范围．方法总结——单调性定义“脱”衣法、“穿”衣法、“穿脱”交替法小试牛刀1. 函数的定义域是（A）或 （B）（C） （D）2. 下列函数中是奇函数,又在定义域为减函数的是（A） （B）（C） （D）3. 已知函数，则为 ；不等式的解集是________.4. 若，则的取值范围是 ．巩固练习一、选择题1. 设，则（A）1 （B）2 （C）4 （D）112. 函数的定义域为（A）或 （B）或（C） （D）3. 给出下列函数：①；②；③；④.其中图象关于轴对称的是（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）②④4. 函数的值域为（A） （B）（C） （D）5. 已知，则三者的大小关系是(A) (B) (C) (D)6. 三个数，，之间的大小关系是（A） （B） （C） （D）不确定7. 设偶函数在上是递增函数,则与的大小关系是（A） （B）（C） （D）不确定8. 当时，使不等式成立的正数的值为( )(A) (B) (C)2 (D)48. 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是( )(A)4 (B)8 (C)10 (D)129. 函数(为常数),若时,恒成立,则（A） （B） （C） （D）二、填空题1. .2. .3. 求值4. 的值为__________．5. 求值：.6. 用和表示.7. ，，则．8. 若，，则用表示为_______.9. 已知函数的图象必经过定点，则点的坐标为．10. 函数且恒过定点.11. 已知函数,则.12. 设，则.13. 函数的单调递增区间是.14. 函数的单调递增区间是________．15. 函数的单调增区间为.16. 已知是上的增函数,那么的取值范围是.17. 为奇函数,当时,,则当时,.18. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是．三、解答题1.求值：（1） （2） （3） （4）2.计算:（Ⅰ）（Ⅱ）3.求满足下列条件的各式的值:(1)若,求的值;(2)若,求的值.4.已知,求下列各式的值:(1); (2); (3); (4).5.设集合,且.（Ⅰ）求集合;（Ⅱ）若,求集合;（Ⅲ）若,求实数的取值范围.6.已知函数（Ⅰ）求的定义域（Ⅱ）判断的奇偶性7.已知设函数.（Ⅰ）求定义域;（Ⅱ）判断的奇偶性并予以证明;（Ⅲ）求使的的取值范围.第六讲 对数与对数函数课前检测成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1. 已知则的值为.【答案】82. 如果函数为奇函数，则的值为.【答案】23. 已知，的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】C4. 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图像，则与的大小关系是（A） （B）（C） （D）【答案】B5. 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】A教学目标1.理解对数及对数函数的概念2.学会根据对数函数图像研究对数函数性质3.掌握对数的运算法则4.熟练习应用换底公式5.能够解决对数函数的实际应用知识框架知识要点引入：从指数引出对数某地有一上市公司的股票如果按照每年速度增长,那么这家公司的股票什么时候能够增长为原来的倍 什么时候能够增长为原来的倍 什么时候增长为原来的倍 上述问题实际上就是从中分别求出,即已知底数和幂的值,求指数.这是本节课学习的对数.知识点1：对数的概念一般地,如果且,那么数叫做以为底的对数（logarithm）,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.例如,由于,所以就是以为底的对数,记作;再如，由于,所以以为底的对数为,记作.通常,我们将以为底的对数叫做常用对数（common logarithm）,并把记为.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数为底数的对数,以为底的对数称为自然对数（natural logarithm）,并把记为.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当时,.由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论:负数和没有对数；.思考：请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论.典型例题考点一：指数对数互化【例1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（课本）（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.【答案】(1)；(2)；(3)(4)；(5)；(6)【练习1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（课本）（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.【答案】（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）考点二：对数求值【例1】求出下列的值（课本）（1）； （2）；（3）； （4）.【答案】（1）因为，所以.（2）因为，所以.又，所以.（3）因为，所以.于是 .(4)因为,所以.于是 .【练习1】求出下列式子的值（课本）（1）； （2）； （3）； （4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【练习2】求出下列的值（课本）（1）； （2）；（3）； （4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）知识点2：对数的运算探究：我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢 设,因为，所以.根据对数与指数间的关系可得,.同样地，可以仿照上述过程，由和,自己推出对数运算的其他性质.得到对数运算性质如下：如果且,那么（1）;（2）;（3）.对数恒等式：（1）若，则，即.（2）若，则，即.典型例题考点一：对数的化简及运算【例1】求值（课本）（1）； （2）.【答案】(1)(2).【练习1】求值(1); (2);(3); (4).【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【练习2】求值计算：.【答案】-4【练习3】计算：.【答案】【练习4】已知,则.【答案】【练习5】若,则＝.【答案】【练习6】求出下列的值（课本）（1）; （2）;（3）; （4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.考点二：对数的表示【例1】（课本）用表示.【答案】【练习1】【课本】用表示下列各式:（1）; （2）; （3）; （4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）知识点3：换底公式探究:根据对数的定义，能否利用表示的值 那么能否利用表示且且吗 设,则,于是.根据性质（3）得,即,且,且.我们把上式叫做对数换底公式.典型例题考点一：换底公式的应用——对数的表示【例1】设,，试用、表示【答案】【练习1】设,，试用、表示.【答案】【练习2】已知，，则.【答案】考点二：换底公式的实际应用【例2】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2011年３月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） 【答案】解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和．由，可得,,于是，，利用计算工具可得．虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.【练习1】我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用计算工具计算并回答下列问题：（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【答案】（1）；（2）；；.【练习2】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是.当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达.（要求填写准确值）【答案】方法总结：取对数、化指数知识点4：对数函数引入：我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．一般地,函数且叫做对数函数（logarithmic function），其中是自变量，定义域是.探究：画出函数的图象.根据下表中的对应值表，用描点法画出函数的图象.22.5833.584思考：我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如和,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象 利用换底公式，可以得到.因为．因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象.（如右图）探究：选取底数,且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数,且的值域和性质吗 思考：对于指数函数,你能利用指数与对数间的关系,得到与之对应的对数函数吗 它们的定义域、值域之间有什么关系 一般地，指数函数,且与对数函数且互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.典型例题考点一：求对数函数的定义域【例1】（课本）求下列函数的定义域:(1);(2)且.【答案】(1);(2).【例2】（课本）求下列函数的定义域:（1）; （2）;（3）; （3）且.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【练习2】函数的定义域是.【答案】【练习3】求下列各式中的取值范围：（1）【答案】（1）且；（2）且；【练习4】函数,则函数的定义域为.【答案】【练习5】已知函数.（1）函数的定义域为_______；（2）若，则________.【答案】（1）；（2）考点二：对数函数比较大小【例1】（课本）比较下列各题中两个值的大小:(1);(2);(3)且.【答案】（1）（2）（3）【练习1】（课本）比较下列各题中两个值的大小:(1); (2); (3).【答案】（1）（2）（3）【练习2】设，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】D【练习3】若实数，则的大小关系为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【练习4】已知,则从小到大的排列为.【答案】【练习5】右图中有五个函数的图象,依据图象用“”表示出以下五个量的大小关系,正确的是（A）（B）（C）（D）【答案】C考点三：对数函数图象【例1】（课本）在同一直角坐标系中画出函数和的图象,并说明它们的关系.【答案】图象关于轴对称【例2】（课本）函数的图象如图所示,则可能是( )(A)(B)(C)(D)【答案】C【练习1】函数与且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【练习2】当，在同一坐标系中，函数与的图像是【答案】C【例3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（B）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（C）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（D）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【练习1】函数的部分图象可能是（B） （C） （D）【答案】B【练习2】函数的图象是把函数的图象沿轴先向 平移______个单位，再沿轴向______移动______个单位．【答案】左，1，上，2考点四：对数函数的单调性【例1】判断函数的单调性.【答案】单调递减任取，，当时，，，所以，，此函数是减函数.当时，，，所以此函数是减函数.当时，易知，此函数为减函数.综上，函数单调递减【例2】下列函数中，在上为增函数的是（A） （B）（C） （D）【答案】D【练习1】已知函数在区间上是的减函数，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】B【例3】求函数的单调区间.【答案】单调递减区间，单调递增区间【练习1】函数的单调递增区间是.【答案】【练习2】函数的单调增区间是.【答案】【练习3】函数的图像如图所示,满足 的的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）【答案】A方法总结:求解复合函数单调区间——“同增异减”.考点五：对数函数值域（最值）【例1】求函数的值域.【答案】【例2】函数的值域为的真子集，则的取值范围是______.【答案】【练习1】函数的值域是（A） （B） （C） （D）【答案】B【练习2】对任意实数，都有且,则实数的取值范围是________.【答案】【练习3】设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D考点六：对数函数的性质——奇偶性【例1】判断函数的奇偶性.【答案】奇函数【练习1】判断函数的奇偶性【答案】奇函数【例2】函数的图像关于（A）轴对称 （B）轴对称（C）原点对称 （D）直线对称【答案】C【练习1】函数（A）是偶函数，在区间上单调递增（B）是偶函数，在区间上单调递减（C）是奇函数，在区间上单调递增（D）是奇函数，在区间上单调递减【答案】B【练习2】设是定义在上的奇函数，若当时，，则.【答案】-1【练习3】已知函数，若函数是上的偶函数，求实数的值.【答案】考点七：反函数的判定【例1】（课本）判断下列各对函数是否互为反函数.若是,则求出它们的定义域和值域:(1); (2).【答案】（1）互为反函数，定义域，值域，，定义域，值域；（2）互为反函数，定义域，值域，，定义域，值域.【练习1】在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是（A）关于轴对称 （B）关于直线对称（C）关于原点对称 （D）关于轴对称【答案】B【练习2】若函数是函数且的反函数，其图像经过点，则（A） （B） （C） （D）【答案】C考点八：分段函数【例1】已知函数，则=.【答案】【练习1】已知函数则的值是.【答案】【练习2】函数的值域为.【答案】知识点5：不同函数增长的差异选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？以函数和为例.通过下表做出函数图象如下图所示,可以看到,函数和的图象有两个交点.在区间上,函数的图象位于的图象之上,;在区间上,函数的图象位于的图象之下,;在区间上,函数的图象位于的图象之上,.这表明,虽然这两个函数函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数增长速度在变化.0 1 00.5 1.414 11 2 21.5 2.828 32 4 42.5 5.657 53 8 6… … …下面在更大的范围内,观察和的增长情况.0 1 02 4 44 16 86 64 128 256 1610 1024 2012 4096 24… … …一般地,指数函数与一次函数的增长差异与上述情况类似.即使的值远远大于的值.的增长速度最终都会大大超过的增长速度.探究：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗 不妨以函数和为例,通过下表做出函数图象如下图所示.0 不存在 010 1 120 1.301 230 1.477 340 1.602 450 1.699 560 1.778 6… … …思考：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较,那么仍有上述规律吗 一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增,但它们的增长速度不同．随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢．不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有.典型例题【例1】（课本）三个变量随变量变化的数据如下表:0 5 10 15 20 25 305 130 505 1130 2005 3130 45055 90 1620 29160 524880 9447840 1700611205 30 55 80 105 130 155其中关于呈指数增长的变量是.【答案】【例2】（课本）如图,对数函数的图象与一次函数的图象有两个公共点,求一次函数的解析式.【答案】拓展提升考点一：对数函数+函数的性质1. 若函数，若，实数的取值范围是(A) (B)(C) (D)【答案】考点二：对数函数与不等式【例1】若定义域为R的偶函数在上是增函数且则不等式的解集是______________【答案】【练习1】若，则实数的取值范围是_________．【答案】【例2】若，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【练习1】若，则的取值范围是 ．【答案】【练习2】解关于的不等式（为常数且）的解集。【答案】【例3】函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围（　　）(A) (B) (C) (D)【答案】B【练习1】若函数，且对定义域内的所有恒成立，则实数的取值范围是__________________．【答案】【练习2】已知函数，（1）求函数的定义域和值域；（2）设函数，若不等式无解，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）.方法总结——单调性定义“脱”衣法、“穿”衣法、“穿脱”交替法小试牛刀1. 函数的定义域是（A）或 （B）（C） （D）【答案】A2. 下列函数中是奇函数,又在定义域为减函数的是（A） （B）（C） （D）【答案】C3. 已知函数，则为 ；不等式的解集是________.【答案】；4. 若，则的取值范围是 ．【答案】巩固练习一、选择题1. 设，则（A）1 （B）2 （C）4 （D）11【答案】C2. 函数的定义域为（A）或 （B）或（C） （D）【答案】B3. 给出下列函数：①；②；③；④.其中图象关于轴对称的是（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）②④【答案】B4. 函数的值域为（A） （B）（C） （D）【答案】C5. 已知，则三者的大小关系是(A) (B) (C) (D)【答案】B6. 三个数，，之间的大小关系是（A） （B） （C） （D）不确定【答案】C7. 设偶函数在上是递增函数,则与的大小关系是（A） （B）（C） （D）不确定【答案】C8. 当时，使不等式成立的正数的值为( )(A) (B) (C)2 (D)4【答案】C8. 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是( )(A)4 (B)8 (C)10 (D)12【答案】C9. 函数(为常数),若时,恒成立,则（A） （B） （C） （D）【答案】A二、填空题1. .【答案】2. .【答案】-13. 求值【答案】4. 的值为__________．【答案】15. 求值：.【答案】-36. 用和表示.【答案】7. ，，则．【答案】因为，∴．8. 若，，则用表示为_______.【答案】9. 已知函数的图象必经过定点，则点的坐标为．【答案】10. 函数且恒过定点.【答案】11. 已知函数,则.【答案】12. 设，则.【答案】13. 函数的单调递增区间是.【答案】14. 函数的单调递增区间是________．【答案】15. 函数的单调增区间为.【答案】16. 已知是上的增函数,那么的取值范围是.【答案】17. 为奇函数,当时,,则当时,.【答案】18. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是．【答案】三、解答题1.求值：（1） （2） （3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2.计算:（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】解:（Ⅰ）原式（Ⅱ）原式3.（课本）求满足下列条件的各式的值:(1)若,求的值;(2)若,求的值.【答案】（1）；（2）4.已知,求下列各式的值:(1); (2); (3); (4).【答案】（1）；（2）；（3）；（4）5.设集合,且.（Ⅰ）求集合;（Ⅱ）若,求集合;（Ⅲ）若,求实数的取值范围.【答案】解:（Ⅰ）集合中的不等式可化为,解得,所以.（Ⅱ）当时,集合表示的值域,令,则所以.（Ⅲ）集合表示的值域,且,令,则,所以,若,则,所以,解得,所以实数的取值范围为.6.已知函数（Ⅰ）求的定义域（Ⅱ）判断的奇偶性【答案】解：（1）∵∴定义域为（2）∴为奇函数7.已知设函数.（Ⅰ）求定义域;（Ⅱ）判断的奇偶性并予以证明;（Ⅲ）求使的的取值范围.【答案】解:（Ⅰ）,则定义域.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,定义域,关于原点对称.所以,.所以为奇函数.（Ⅲ）,则.当时,原不等式等价为:;当时,原不等式等价为:;又因为定义域,所以当时,的取值范围;当时,的取值范围.

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