正交空间与辛空间

2024-07-15 08:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

正交空间与辛空间

贡献者：叶月2_

预备知识　双线性函数 定义 1　

　　设 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的线性空间，$f$ 是 $V$ 上的双线性函数，

若 $f$ 是对称的，称 $(V,f)$ 是正交空间；若 $f$ 是反对称的，称 $(V,f)$ 是辛空间；

　　 $f$ 则为广义内积，$(V,f)$ 为广义内积空间。对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$，简记广义内积为 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )\equiv f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$

　　引入广义内积的概念后，向量关系不再是直观的几何关系。在欧几里得空间下，由于内积是正定对称双线性型，我们可以定义两个点之间的距离，向量长度和角度。然而在广义内积下，这些概念无法再定义。譬如一般定义长度 $l_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }=\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^2}\ge 0$，但在辛空间内向量内积都为 0，不再具有区分性，所以没有这个概念。同理，正交性不再由角度定义，而是采取内积为 $0$ 的定义。由于正交关系是对称的，左根和右根等同，统称为根，以 $ \operatorname {Rad}$ 表示。

　　需要注意的是，在平面几何里，两向量正交则线性无关。但在广义内积空间内并不一定成立，比如退化的正交空间内总有与自身内积为 0 的向量，因此 “正交基” 要严格保证既是线性无关也是相互正交。

　　一般称与自身正交为 $0$ 的向量为迷向向量。

定义 2　

　　设 $V$ 是域 $F$ 的内积空间，$S,T$ 为其子空间。若对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in S, \boldsymbol{\mathbf{y}} \in T$ 有 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} . \boldsymbol{\mathbf{y}} )$，则称这两个空间互相垂直。若任意与 $S$ 垂直的向量都在 $T$ 内，则可以表示 $T=S^{\bot}$。

定理 1　

　　设特征不为 2 的域 $F$ 上有 $n$ 维正交空间 $(V,f)$，则该正交空间一定存在正交基。

　　 证明：

　　由于 $f$ 是对称的，则度量矩阵是对称矩阵，设为 $A$。$A$ 可以通过正交矩阵来对角化，每一列是 $A$ 的两两正交的特征向量。

定理 2　

　　 $(V,f)$ 是正交空间，A 是 $f$ 的度量矩阵表示，则有子空间 $W$ 非退化 $\Longleftrightarrow W^{\bot}$ 非退化 $\Longleftrightarrow A|_{W}$ 满秩 $\Longleftrightarrow V=W\oplus W^{\bot} $

　　 证明：

　　 $W$ 非退化 $\Longleftrightarrow \operatorname {Rad}W=W\cap W^{\bot}=0\Longleftrightarrow W^{\bot}$ 非退化。前两条得证。

　　设任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in \operatorname {Rad} W, \boldsymbol{\mathbf{y}} \in W$，$W$ 的退化性意味着 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{T}A|_{W}) \boldsymbol{\mathbf{y}} =0$ 只有 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 解，因此 $A|_{W}$ 是单射，满秩。

　　接下来证明最后一条。因为 $W\cap W^{\bot}=0$，只需证明 $V=W+W^{\bot}$ 即可。正交空间必有正交基，设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^k$ 是 $W$ 上的一组由非迷向向量组成的正交基，任意 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} \in V$，$ \boldsymbol{\mathbf{z}} '$ 为任意向量在 $W$ 上的分量。剩余分量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} '= \boldsymbol{\mathbf{z}} -\sum\limits_{i=1}^k\frac{f( \boldsymbol{\mathbf{z}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)}{f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)} \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~. \end{equation} 若剩余分量属于 $W$ 的正交补，则必然与 $W$ 上的基向量内积为 $0$。验证有： \begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} ', \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=f( \boldsymbol{\mathbf{z}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)-\sum\limits_{i=1}^k\frac{f( \boldsymbol{\mathbf{z}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)}{f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)}f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0~, \end{equation} 得证。

　　辛空间也有一条类似的定理：

定理 3　

　　 $(V,f)$ 是有限维辛空间，$W$ 是其非退化的子空间，则 $V=W\oplus W^{\bot}$

　　 证明：1

　　由于 $W$ 非退化，所以 $ \operatorname {Rad} W=W\cap W^{\bot}={ \boldsymbol{\mathbf{0}} }$ 且 $W$ 是偶数维的辛空间。设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}\}_{i=1}^k$ 是 $W$ 的一组基并满足 $f( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})=1$，若 $i\neq t$ 则有 $f( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{\pm t})= 0$2。扩展其为 $V$ 上的一组基：$\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}\}_{i=1}^k\cup\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i\}_{i=1}^{t}$。

　　设 $ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i= \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i-\sum\limits_{t=1}^kf( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-t}) \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _t+\sum\limits_{t=1}^kf( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _t) \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-t}$，则有：

\begin{equation} \begin{aligned} f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)&=f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)-f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)+f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{i})=0\\ f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})&=f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})-f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})+f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})=0~. \end{aligned} \end{equation} 因而 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i\}_{i=1}^t\in W^{\bot}$，可以证明 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}\}_{i=1}^k\cup\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i\}_{i=1}^t$ 是 $V$ 上的一组基，得证。

　　由定理 2 可知，总可以找到一组基使得辛空间的度量矩阵为：

\begin{equation} \operatorname{diag}\left\{\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right), 0, \cdots, 0\right\} \text {, } ~.\end{equation} 这组基又称为辛基。改变基的顺序，从满足上述形式的 ${ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-1}, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-2}... \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _k, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-k}... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _1... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _t}$ 变为 ${ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _k, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-k}... \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-1} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-2} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-k}... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _1... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _t}$。则可以证明在这组基下度量矩阵的形式为： \begin{equation} \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol E_k \\ -\boldsymbol E_k& 0\\ \end{pmatrix}~. \end{equation}

1. ^ 参考丘维声《高等代数》 2. ^ 有限维辛空间总可以找到这么一组基。

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