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高三数学第一轮复习讲义〔

51

〕

双曲线

一．复习目标：

娴熟掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

二．知识重点：

1

．双曲线的定义〔

  1

〕第必定义：

．

〔

2

〕第二定义：

．

2

．标准方程：

；与

 x

2 

y

2 

1

共渐进线的双曲线方程

．

a

2 

b

2 

3

．性质：

．

4

．共轭双曲线方程：

．

三．课前预习：

1

．平面内有两个定点

F

1

, F

2

和一动点

M

，设命题甲，

  || MF

1

 | 

| MF

2

 ||

是定值，命题乙：

点

 M 

的轨迹是双曲线，那么命题甲是命题乙的

〔

〕

( A) 

充分但不用要条件

( B) 

必需不充分条件

(C ) 

充要条件

( D ) 

既不充分也不用要条件

2

．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为

e

1

 ,e

2

，那么

 e

1

 , e

2 

应知足的关系是

〔

〕

( A) 

e

1

2 

e

2

2 

1 

(B) 

e

1

2 

e

2

2 

1 

(C ) 

1 

1 

1 

(D) 

1 

1 

1 

e

1

2 

e

2

2 

e

1

2 

e

2

2 

3

．直线

y   ax

与双曲线

(x 

1)(y 

1) 

2( x 

0) 

有公共点时，

a

的取值范围是〔

〕

( A)  

3  2  2  a  0 

(B) 

a    3  2  2 

(C)  

3 

2  2 

a 

3 

2 

2 

(D ) 

以上都不正确

4

．

A(2,1),F ( 

2,0) 

，

P

是曲线

  x

2 

y

2 

1(x 

0) 

上一点，当

| PA | 

2 

| PF | 

取最小值

2 

时，

 P 

的坐标是

，

|PA| 

2 

．

2 

| PF | 

最小值是

x

2 

y

2 

5

．假如

F

1

, F

2

分别是双曲线

1

的左、右焦点，

AB 

是双曲线左支上过点

F

1

的弦，

16 

9 

且

|AB| 

6 

，那么

ABF

2

的周长是

．

四．例题剖析：

例

  1

．双曲线

x

2 

y

2 

1

的左右焦点分别

为

F

1

 , F

2

，左准线为

l

，可否在双曲线的左支上

25 

144 

求一点

 P 

，使

| PF

1 

|

是

P

到

l

的距离

d

与

 | PF

2

 |

的等比中项？假定能，求出

P 

的坐标，假定

不可以，说明原因．

例

  2

．过双曲线

x

2 

y

2 

1(a 

0, b 

0) 

的右焦点

  F 

作双曲线在第一、第三象限的渐近线

a

2 

b

2 

的垂线

 l 

，垂足为

  P 

，

 l 

与双曲线的左、右支的交点分别为

A,B 

．

〔

1

〕求证：

P

在双曲线的右准线上；〔

2

〕求双曲线离心率的取值范围．

例

 3

．能否同时存在知足以下条件的双曲线，假定存在，求出其方程，假定不存在，说明原

因．

〔

1

〕渐近线方程为

x 

2 y 

0, x 

2 y

0 

；

.

专心

 .