AM@双曲函数和反双曲函数

2024-07-03 13:54| 来源: 网络整理| 查看: 265

AM@双曲函数和反双曲函数精选原创

cxxu 2023-10-17 01:01:37 ©著作权

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文章目录abstract双曲函数refs图像预览双曲正弦双曲余弦双曲正切公式组1导出公式组2反双曲函数图象预览反双曲正弦函数的自然对数表示性质反双曲余弦性质反双曲正切

abstract双曲函数和反双曲函数得定义,图象和性质双曲函数双曲函数由 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数$ 和 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_02$ 进行基本运算产生 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_03$ 关于 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_04$ 轴对称,且 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_05$ 名称由来:因为双曲函数和三角函数中的正弦,余弦,正切函数的公式和性质相似因此称为正切双曲,双曲余弦,双曲正切还有类似的反双曲refsHyperbolic functions - Wikipedia图像预览

双曲正弦和双曲余弦

双曲正切

AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_06

AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_07

双曲正弦 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_08$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_09$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_10$ ,单调递增奇函数,图形过原点且关于原点对称双曲余弦 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_11$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_12$ $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_10$ $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_14$ 单调第减 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_15$ 单调增加 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_16$ 是函数最小值偶函数,图形过 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_17$ 且关于 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_18$ 轴对称双曲正切 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_19$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_20$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_21$ $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_10$ ,单调增加 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_23$ 奇函数,图形过原点且关于原点对称公式组1 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_24$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_25$ + $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_26$ $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_27$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_25$ - $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_26$ $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_30$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_31$ + $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_26$ $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_33$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_31$ - $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_26$ 将上述等式两边展开成指数形式化简即可证明注意其中(3,4)两个方程和 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_36$ 展开后的 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_37$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_38$ 形式恰好相反导出公式组2 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_39$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_40$ $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_41$ 代入(1-1)即得 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_39$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_43$ $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_41$ 代入(1-3) $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_45$ $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_41$ 代入(1-4)即得反双曲函数 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_47$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_48$ 为反双曲正弦 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_49$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_50$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_51$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_50$ 为反双曲余弦 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_53$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_54$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_55$ 为反双曲正切图象预览

反双曲正弦

反双曲余弦

反双曲正切

AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_56

AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_57

AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_58

反双曲正弦函数的自然对数表示 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_48$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_60$ ,即 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_61$ 令 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_62$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_63$ ,两边同时乘以 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_64$ ,得 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_65$ ;即 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_66$ 可见,这是一个关于 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_64$ 的一元二次方程,其根 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_68$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_69$ $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_70$ ,所以 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_71$ 即 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_72$ $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_73$ 因此 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_74$ 由于 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_75$ ,所以 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_76$ ,所以反双曲正弦表示为 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_48$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_78$ 性质 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_78$ 函数很常见,其性质如下: 定义域 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_80$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_81$ 内单调增加,且过原点的奇函数值域 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_82$ 反双曲余弦类似反双曲正弦的分析,可得 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_83$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_84$ 由 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_85$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_86$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_87$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_88$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_86$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_90$ 令 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_91$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_92$ ,两边同时乘以 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_93$ ,得 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_94$ ;即 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_95$ 得 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_96$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_97$ 从而 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_98$ ,由于 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_99$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_100$ ,所以 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_101$ 事实上, $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_102$ 时, $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_103$ ,两式相加得 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_104$ ,因此该式满足要求而 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_105$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_106$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_107$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_108$ 则 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_109$ ,和 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_102$ 矛盾因此舍去从而 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_111$ 性质定义域: $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_112$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_113$ 上单调递增,值域 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_114$ 反双曲正切 $AM@双曲函数和反双曲函数_对数函数_54$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_116$ $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_117$ ,即 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_118$ ;令 $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_91$ ,则 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_120$ ,即 $AM@双曲函数和反双曲函数_函数_121$ ,得 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_122$ 由于 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_123$ ,所以 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_124$ 取正,即 $AM@双曲函数和反双曲函数_指数函数_125$ $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_98$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_127$ = $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_128$ 定义域 $AM@双曲函数和反双曲函数_基本运算_129$ , $AM@双曲函数和反双曲函数_双曲函数_113$ 内递增的奇函数

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