我们已经看到，单调函数有着很好的微分性质，但单调函数又过于“简单”了，更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢？现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记\(f(x)\)是\([a,b]\)上的有限函数，并取\([a,b]\)的分组点\(D=\{x_0=a,x_1\cdots,a_n=b\}\)，则和式（1）称为\(f(x)\)对分组点\(D\)的变差。如果所有变差都有界，则\(f(x)\)称为\([a,b]\)上的有界变差函数，所有变差的上确界称为\(f(x)\)的全变差（式（2）），而\(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(f)\)则称为\(f(x)\)的变差函数。不难证明，单调函数以及满足Lipschitz条件（式（3）,M为常数）的函数都是有界变差函数，而且有界变差函数本身也是有界函数。

\[V_f(D)=\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\tag{1}\]

\[\bigvee_a^b(f)=\underset{D}{\sup}\;V_f(D)\tag{2}\]

\[|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|,\;x,y\in[a,b]\tag{3}\]

　　现在来证明有界变差函数对基本运算的封闭性，假定\(f(x),g(x)\)都是有界变差的。首先对式（1）使用简单的绝对值不等式，容易证明线性运算\(\alpha f(x)+\beta g(x)\)也是有界变差函数，且有式（4）成立。再对式（1）使用不等式（5），就能证明\(f(x)g(x)\)也是有界变差函数。然后设\(a