大家好，欢迎来到本单元的复习圈!在这个视频中，我们将学习什么是单位圆以及它的用途。

在讨论单位圆之前，我们先来讨论一下角度和弧度。大多数时候，当你测量角，你测量它度．例如，直角是90度，平角是180度，中间每个角都有一个角。

但实际上还有另一种测量角度的方法，那就是测量内角弧度．用弧度测量的角度与\(\pi \)有关，所以当用弧度测量时，几乎每个角度都有\(\pi \)。

因为\(\pi \)是圆的比周长对于它的直径，我们在处理圆时最常用弧度是有意义的。

你们大多数人都听说过，一个圆有360度。弧度也是\(2\pi \)把弧度和角度想象成厘米和英寸。它们是两种不同的测量方式但它们可以用来测量同一事物，并且可以在两者之间转换。弧度和角度的转换是\(2\pi \text{rad}=360^{\circ})，或者简化一下，是\(\pi \text{rad}=180^{\circ})。假设我们想要将\(270°\)转换为弧度。我们将取我们的\(270°\)乘以我们的转换因子，即\(\frac{\pi \text{rad}}{180^{\circ}})。这就简化为\(\frac{3\pi}{2}\text {rad}\)。

现在让我们尝试一个从弧度到角度的转换的例子。让我们看看\(\frac{\pi}{6}\text{rad}\)。如果我们把这个乘以我们的转换因子，我们将乘以\(\frac{180^{\circ}}{\pi \text{rad}})，然后简化为\(30°\)。

现在我们来看看它和单位圆的关系。

单位圆是半径为一个单位，圆心在原点的圆。这看起来很常见如果你认为我要让你求周长或面积，你可能会很兴奋。在半径为1的情况下，这不会很难。但今天我们要从三角函数的角度来看这个圆。

三角学是研究三角形的边和角是如何相互联系的。现在，你可能想知道圆形和三角形之间有什么关系，这是一个很好的问题!三角学最常用的一种方法是在直角三角形的两条边已知的情况下求角的长度。如果我们仔细观察这个圆，我们可以在里面找到直角三角形。下面是一个例子:

我们知道半径是1，我们可以用SOHCAHTOA来找出对边是\(\frac{1}{2}\)，邻边是\(\sqrt{3}\)。

单位圆是最常见的直角三角形的集合，所以我们用它来记住最常见角的三角值。一个特定角度的坐标点与圆相接，我们就得到了正弦和余弦值。例如，从角度\(60°\)来的射线，射线击中单位圆的点是\((\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2})\)。\(x\)坐标给出了这个角的余弦值，\(y\)坐标给出了这个角的正弦值。如果您需要找到正切值，只需将sin / cos，或\(y\)坐标置于\(x\)坐标之上。回到我们的例子\(60°\)\罪(\{60 ^{\保监会}}= \压裂{\ sqrt{3}}{2} \),我们\ (y \)协调\ \(因为{60 ^{\保监会}}= \压裂{1}{2}\),我们\ (x \)协调和\谭(\{60 ^{\保监会}}= \压裂{\压裂{\ sqrt{3}}{2}}{\压裂{1}{2}}\),从而简化了\ \√{3}\)。

在讨论这些角度度量时，需要注意的一件重要事情是，这些角度必须处于标准位置。标准位置简单地说，角的顶点在圆的原点，角的一条射线在正\(x\)轴上。角度的另一条射线被放置在沿圆周逆时针运动形成的角度测量。如果一个角度不在标准位置，在使用这些点找到三角函数值之前，把它放在标准位置是很重要的。

我想让你们自己用单位圆找到几个三角函数的值。现在，我们把它放在屏幕上，这样你们就可以参考它，但最终，你们可能想要记住它，因为这些值在数学中经常出现。

继续，暂停视频，看看你能想到什么。

让我们检查一下答案。\(\cos{180^{\circ}}=-1\)，因为在\(180°\)时，光线在点\((-1,0)\)击中圆。罪的\ \{\压裂{2 \π}{3}}= \压裂{\ sqrt{3}}{2} \),因为它在点\((- \压裂{1}{2},\压裂{\ sqrt{3}}{2}) \)。还有\(\tan{\frac{\pi}{4}}=1\)因为射线在点\((\sqrt{2}，\sqrt{2})\)上击中圆。和\ \压裂{\ sqrt {2}} {\ sqrt{2}} = 1 \)。请记住，您可以使用转换\(\pi \text{rad}=180^{\circ})在弧度和角度之间进行转换。然后我们使用单位圆，将角置于标准位置，来找到公角测量的三角值。

我希望这篇评论对您有所帮助。感谢收看，学习愉快!