（2）勾股数组与单位圆

2024-06-22 13:13| 来源: 网络整理| 查看: 265

单位圆有理点公式

前一节我们描述了勾股定理

a 2 + b 2 = c 2 a^{2}+b^{2}=c^{2} a2+b2=c2

对于这个公式左右都除以c2则得

( a c ) 2 + ( b c ) 2 = 1 (\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=1 (ca)2+(cb)2=1

所以，有理数对 ( a c , b c ) (\frac{a}{c},\frac{b}{c}) (ca,cb)是方程 x 2 + y 2 = 1 x^{2}+y^{2}=1 x2+y2=1的解。大家知道方程 x 2 + y 2 = 1 x^{2}+y^{2}=1 x2+y2=1代表中心在（0，0）半径为1的圆C。我们可以从几何角度来求圆C上x坐标与y坐标都是有理数的点。注意圆上有四个明显的有理点（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）。我们可以假设一条过（-1，0）斜率为m的直线L（m为任意的有理数）。L的方程：

L : y = m ( x + 1 ) ( 点斜式 ) . L:y=m(x+1)\hspace{0.5cm}(点斜式). L:y=m(x+1)(点斜式).

给出。从图形上来看交集C∩L恰好由两个点组成，其中一个是（-1，0）,可以发现m可以是任意有理点那么另一个交点就可以用m表示圆上除（-1，0）以外的所有点。为求C与L的交集，需要解关于x与y的方程组

x 2 + y 2 = 1 y = m ( x + 1 ) x^{2}+y^{2}=1\hspace{1cm}y=m(x+1) x2+y2=1y=m(x+1)

将第二个方程代入第一个方程并化简得

x 2 + ( m ( x + 1 ) ) 2 = 1 x^{2}+(m(x+1))^{2}=1 x2+(m(x+1))2=1 x 2 + m 2 ( x 2 + 2 x + 1 ) = 1 x^{2}+m^{2}(x^{2}+2x+1)=1 x2+m2(x2+2x+1)=1 ( m 2 + 1 ) x 2 + 2 m 2 x + ( m 2 − 1 ) = 0 (m^{2}+1)x^{2}+2m^{2}x+(m^{2}-1)=0 (m2+1)x2+2m2x+(m2−1)=0

这正好是一个二次方程，所以可用二次方程求根公式求出两个解，但这里可以取个巧，由于我们已知一个点是（-1，0），我们知道x=-1一定是一个解。因此可用x+1去除二次多项式来求另一根：

( m 2 + 1 ) x 2 + 2 m 2 x + ( m 2 − 1 ) x + 1 = ( m 2 + 1 ) x + ( m 2 − 1 ) \frac{(m^{2}+1)x^{2}+2m^{2}x+(m^{2}-1)}{x+1}=(m^{2}+1)x+(m^{2}-1) x+1(m2+1)x2+2m2x+(m2−1)=(m2+1)x+(m2−1)

所以另一个根是 ( m 2 + 1 ) x + ( m 2 − 1 ) = 0 (m^{2}+1)x+(m^{2}-1)=0 (m2+1)x+(m2−1)=0的解，这意味着

x = 1 − m 2 1 + m 2 x=\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} x=1+m21−m2

将x的值代入直线L可以求得y的坐标：

y = m ( x + 1 ) = m ( 1 − m 2 1 + m 2 + 1 ) = 2 m 1 + m 2 y=m(x+1)=m(\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}+1)=\frac{2m}{1+m^{2}} y=m(x+1)=m(1+m21−m2+1)=1+m22m

这样，对每个有理数m得到方程 x 2 + y 2 = 1 x^{2}+y^{2}=1 x2+y2=1的一个有理解

( 1 − m 2 1 + m 2 , 2 m 1 + m 2 ) (\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}},\frac{2m}{1+m^{2}}) (1+m21−m2,1+m22m)

另一方面，如果得到一个有理数解（x1，y1）则过这一点与（-1，0）的直线斜率m是有理数。所以通过去m的所有可能值，上述过程就生成方程 x 2 + y 2 = 1 x^{2}+y^{2}=1 x2+y2=1的所有可能有理解。（点（-1，0）例外，它应对这斜率m为无穷大是的铅直线。）综上所述：圆 x 2 + y 2 = 1 x^{2}+y^{2}=1 x2+y2=1上的坐标是有理数的点都可由公式

( x , y ) = ( 1 − m 2 1 + m 2 , 2 m 1 + m 2 ) (x,y)=(\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}},\frac{2m}{1+m^{2}}) (x,y)=(1+m21−m2,1+m22m)

得到，其中m取有理数值（点（-1，0）例外，这是当 m → ∞ m→ \infty m→∞时的极限值）。

单位圆与勾股数组的联系

如果将有理数m写为 v u \frac{v}{u} uv则公式变成

( x , y ) = ( u 2 − v 2 u 2 + v 2 , 2 u v u 2 + v 2 ) (x,y)=(\frac{u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}},\frac{2uv}{u^{2}+v^{2}}) (x,y)=(u2+v2u2−v2,u2+v22uv)

消去分母就给出了勾股数组

( a , b , c ) = ( u 2 − v 2 , 2 u v , u 2 + v 2 ) (a,b,c)=(u^{2}-v^{2},2uv,u^{2}+v^{2}) (a,b,c)=(u2−v2,2uv,u2+v2)

虽然描述本原勾股数组需要对u，v做出一些限制，但这是描述了所有勾股数组的另外一种方法，通过令

u = s + t 2 v = s − t 2 u=\frac{s+t}{2}\hspace{1cm}v=\frac{s-t}{2} u=2s+tv=2s−t

这里的描述与前一节的公式相联系。

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