公因数与公倍数是五下中一关重要的计算关。虽然考的频率不高，但是仍然有人败在这里。原因有很多，例如说倍数关系写错，分解质因数分解错等等。

求出最大公因数有以下几种方法：

先写出各自的因数，再找到公有的因数，再找到最大公因数。这是新版本中最基础的方法，也是最麻烦的方法。

先写出公有的因数，再分别写出各自的因数。（个人觉得这个方法比较不好，都知道他们公因数了还要特地画图找最大公因数？）

先分别分解质因数，再找到公有的质因数，如果是两个以上就要把公有的质因数相乘，积就是最大公因数；如果只有一个，那这个质因数就是几个数的最大公因数。

利用短除法求几个数的最大公因数。先写数字，然后用它们的质因数做除数，直到商为互质数为止。（左边的2、2、3就是除数，下面的2.、3就是商）如果除数是一个，那这个就是几个数的最大公因数，如果除数是两个以上，那除数相乘的积就是几个数的最大公因数。

利用几个数的积÷最小公倍数=最大公因数

有两类特殊的类型是可以直接算出最小公倍数的。

如果可以立刻判别出来两个数互质，那么[a,b]=a×b。 判断两个数互质的技巧：（两个数中没有1可使用）

如果这两个数中一个数是另一个数的倍数，那最小公倍数就是大的那个数。

如果没有特殊的关系，可以使用以下几种方法。

这是最典型、最基础的一种方法，也是学生在解决实际问题时经常用到的方法，特点是快捷，不易出错。如求24和32的最小公倍数：

[24,32]=2×2×2×3×4=96，其中2、2、2是24和32共有的因数，3和4是它们独有的因数。当然，求三个数的最小公倍数，也可以用短除法解决，只是在除的过程中，必须达到商为两两互素为止。如求24、32、28的最小公倍数：

[24,32,28]=2×2×2×3×4×7=672，其中两个2是三者公有的因数，第三个2是24和32公有的因数，3、4、7是三者独有的因数。

所谓分解因数法，就是把两个数分别分解因数后，找出公有的因数和独有的因数再相乘。如求24和32的最小公倍数： 24=2 × 2 × 2 × 3 32=2 × 2 × 2 × 2 × 2 [24,32]=2×2×2×3×4=96 这种方法需要很清楚地理解公因数和公倍数的意义。

列举法在初学时使用最多，就是分别从小到大写出几个数的倍数，再找出公有的倍数中最小的一个。如：求18和24的最小公倍数

18的倍数有：18、36、54、72、90……

24的倍数有：24、48、72、96……

通过上下对照，我们就可以发现18和24最小公倍数为72。这种方法容易理解，操作也不难，求三个数的最小公倍数也可以像上面一样解决，但是碰到较大的数字或求三个数的最小公倍数时比较繁琐，在后期的学习中很少使用。

也有使用表格式，或者韦恩图的方式求最小公倍数，本质上是一样的，不再单独加以说明。

因为两个数的最大公约数与最小公倍数的积等于这两个数本身的乘积 , 所以, 用这两个数的乘积除以它们的最大公约数, 就可以得到这两个数的最小公倍数。求 25 和 30 的最小公倍数 ，因为 2 5 和 3 0 的最大公约数是 5 , 所以它们的最小公倍数是 ：[25,30]= 2 5 ×3 0÷5=150

最大公因数法还有第二种理解，可以用这两个数分别除以这两个数的最大公因数，得出两个商，用这两个商的积再乘那个最大公因数，最后的乘积就是原来两个数的最小公倍数。还是以25和30为例，它们的最大公因数是5,25÷5=5,30÷5=6,5×6×5=150就是25和30的最小公倍数。这种方法适合于很方便看出两个数的最大公因数时，求三个数的最小公倍数时，要考虑除以它们的最大公因数后，所得的商是两两互素才行，不是两两互素就要继续除以两个数的公因数，就很容易产生错误。

对于不是互素，也不是倍数关系的两个，求它们的最小公倍数，可以把其中较大的一个数分别×1，×2，×3……，心算出结果，如果这个结果恰好就是较小数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数。如求25和30的倍数，可以把30扩倍，30×2=60，60不是25的倍数；30×3=90,90不是25的倍数；30×4=120,120不是25的倍数；30×5=150,150是25的倍数，那么150就是30和25的最小公倍数。这种方法对于很多孩子来说比短除法更方便，更喜欢使用，适合口算。求三个数的最小公倍数也可以用这种方法，但是数字比较大的时候，就会比较麻烦，一是心算乘法容易错，二是扩倍次数比较多，不够便捷。

化简分数,交叉相乘法，也能很快求出几个数的最小公倍数，例如,求24和36的最小公倍数：

首先，把24和36两个数写成真分数或假分数形式，并化成最简分数，

然后交叉相乘24×3=36×2=72，72就是24和36的最小公倍数。这个方法和简单，只需两步，一是化简分数，二是交叉相乘。

同样，按此方法也可以求出三个数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求出这个公倍数和剩余那个数的最小公倍数，如：求45、54和48的最小公倍数，可以先求45和54的最小公倍数，

45×6=54×5=270 48×45=270×8=2160，2160就是45、54、48的最小公倍数。

数缩倍后相乘法就是求两个数的最小公倍数。如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以 2，3，4，5……直到除得的商能整除较大数为止，然后用这个商除以较大数所得的商与原来数相乘所得的积就是这两个数的最小公倍数。如：求［ 10，75］和［ 25，30］。

解：①因为数10能被2整除，商是5，而且 75÷5=15（整除）， 所以［10，75］=15×10=150。

②因为小数 25 能被 5 整除，商是 5，且 30÷5=6， 所以［25，30］=6×25=150

求最小公倍数， 除了课本上介绍的分解质因数法和短除法之外，还有一种名为“消减法”。用“消减法”求两个数的最小公倍数的方法是：用其中的一个数做分子，这两个数的差做分母，写成分数形式，再把它化成最简分数。再拿最简分数的分子与另一个数（不是原来做分子的那个数）相乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

例如：求 18 和 30 的最小公倍数。（分子 3 是 18 独自拥有的因数，分母 2 是两个数的差独自拥有的因数。 这一步，把18和30 的公有因数6消去一次了，并求出 18 独自拥有的因数 3。）3×30=90，90 就是 18 和 30 的最小公倍数。

因为这两个数中的每一个数都等于他们的公有因数与各自独自拥有因数的乘积。 如果直接把两数（不是互质数）相乘，它们的公有因数就乘了两次，所得的公倍数与它们的最小公倍数相比，就扩大了它们的公有因数倍。 如果先消去一次这两个数的公有因数再相乘，积就是这两个数的最小公倍数了。 那么如何消去一次这两个数的公有因数呢？ 因为任何两个数的和或差里一定含有这两个数的公有因数。 为了方便，我就选用这两个数的差与其中一个数相互约分的办法，消去了一次这两个数的公有因数。 这样求出的公倍数就是这两个数的最小公倍数。“消减法”化小了数据，避免了用分解质因数和短除法求最小公倍数时，公有质因数较大难以寻找的麻烦。这种方法同样也适合于求三个数的最小公倍数，方法如下：

（1）用第一个数做分子，前两个数的差做分母，写成分数，化成最简分数。

（2）用这个最简分数的分子与第二个数相乘的积做分子，用这个积与第三个数相减的差做分母，化成最简分数。

（3）用这个最简分数的分子与第三个数相乘的积就是这三个数的最小公倍数。

例如：求 8、12、30 的最小公倍数。

（消去 12 和 8 的公有因数 4。 ）

（又消去 12 和 30 的公有因数 6。 ）

4×30=120，则120 就是 8、12 和 30 的最小公倍数。

消减法求最小公倍数，适合于各种情况（包括互质关系、倍数关系、一般关系等）正确率达百分之百。

在最大公因数与最小公倍数的计算中，有很多方法，只要选择一种自己喜欢的方法就可以了，这里只是列举出来。希望各位都能在第三单元的考题上不丢分！