动态规划解最长公共子序列(LCS)(附详细填表过程) |
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目录 相关概念 子序列形式化定义: 公共子序列定义: 最长公共子序列(以下简称LCS): 方法 蛮力法求解最长公共子序列: 动态规划求解最长公共子序列: 分析规律: 做法: 伪代码: 下面演示下c数组的填表过程:(以求ABCB和BDCA的LCS长度为例): 时间复杂度: 代码: 结果示例: 相关概念 子序列形式化定义:给定一个序列X=,另一个序列Z=,若存在一个严格递增的X的下标序列对所有的1,2,3,...,k,都满足x(ik)=zk,则称Z是X的子序列 比如Z=是X=的子序列 公共子序列定义:如果Z既是X的子序列,又是Y的子序列,则称Z为X和Y的公共子序列 最长公共子序列(以下简称LCS):2个序列的子序列中长度最长的那个 方法 蛮力法求解最长公共子序列:需要遍历出所有的可能,时间复杂度是O(n³),太慢了 动态规划求解最长公共子序列: 分析规律:设X=,Y=为两个序列,Z=是他们的任意公共子序列 经过分析,我们可以知道: 1、如果xm = yn,则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS 2、如果xm != yn 且 zk != xm,则Z是Xm-1和Y的一个LCS 3、如果xm != yn 且 zk != yn,则Z是X和Yn-1的一个LCS 所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i,前j个字符的LCS的长度话,可以得到以下公式: 文字意思就是: 设 p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度 p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度 p表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度 p0表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度 如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等,则p0 = p + 1 如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等,则p0 = max(p1,p2) 做法: 因此,我们只需要从c[0][0]开始填表,填到c[m-1][n-1],所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度 但是,我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢? 也是用一个二维数组b来表示: 在对应字符相等的时候,用↖标记 在p1 >= p2的时候,用↑标记 在p1 < p2的时候,用←标记 伪代码:若想得到LCS,则再遍历一次b数组就好了,从最后一个位置开始往前遍历: 如果箭头是↖,则代表这个字符是LCS的一员,存下来后 i-- , j-- 如果箭头是←,则代表这个字符不是LCS的一员,j-- 如果箭头是↑ ,也代表这个字符不是LCS的一员,i-- 如此直到i = 0或者j = 0时停止,最后存下来的字符就是所有的LCS字符 比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS: 灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符 下面演示下c数组的填表过程:(以求ABCB和BDCA的LCS长度为例): 以此类推 最后填出的表为: 右下角的2即为LCS的长度 时间复杂度: 由于只需要填一个m行n列的二维数组,其中m代表第一个字符串长度,n代表第二个字符串长度 所以时间复杂度为O(m*n) 代码: #include #include #include using namespace std; void LCS(string s1,string s2) { int m=s1.length()+1; int n=s2.length()+1; int **c; int **b; c=new int* [m]; b=new int* [m]; for(int i=0;i |
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