重力和电场力等都既有大小又有方向，由此构成了矢量场。这一节有关于通过线积分计算在矢量场中移动物体时的做功。

Generally，矢量场为一个为定义域内每个点都赋予一个矢量函数值的函数。三维空间中的矢量场形如

$$\mathbf{F}(x,y,z) =M(x,y,z)\mathbf{i} +N(x,y,z)\mathbf{j} +P(x,y,z)\mathbf{k}.$$

如果component functions$M$，$N$，$P$连续，则称该场连续；如果component functions可微，则称该场可微。二维条件下的矢量场形如

$$\mathbf{F}(x,y) = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j}.$$

另一种形式的矢量场为之前的章节中提到的一条曲线的切向量$\mathbf{T}$与法向量$\mathbf{N}$，构成了这条曲线上的向量场。沿着曲线$\mathbf{r}(t)$，可以将这一向量场参数化为

$$\mathbf{v}(t) =f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}.$$

如果对一个三元的标量函数取梯度$\nabla f$，也会得到一个三维空间内的向量场。

梯度向量描述的是一个标量函数在某一点变化最大的一个方向。我们定义梯度场为一个可微函数$f(x,y,z)$的梯度向量构成

$$\nabla f =\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} +\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} +\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$$

假设有矢量场$\mathbf{F}(x,y,z) = M(x,y,z)\mathbf{i} + N(x,y,z)\mathbf{j} + P(x,y,z)\mathbf{k}$，其具有连续的components；假设曲线$C$有连续的参数化$\mathbf{r}(t) = g(t)\mathbf{i} + h(t)\mathbf{j} + k(t)\mathbf{k},a\le t\le b$。

在曲线上的每一点，都有一个前进方向[^4]，也即切线方向

$$\mathbf{T} =\frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}} =\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}.$$

直观来讲，矢量场对一条曲线的线积分，就是在这条曲线的前进方向上的积分，由内积给出

$$\mathbf{F}\cdot\mathbf{T} =\mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}}$$

定义：令$\mathbf{F}$为一具有连续component，且定义在可参数化为$\mathbf{r}(t),a\le t\le b$的smooth曲线$C$上的矢量场。则$\mathbf{F}$沿$C$的线积分为$$\int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds} =\int_C \left(\mathbf{F}\cdot\frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}}\right)\mathop{ds} =\int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}.$$

*Evaluate F = Mi + Nj + Pk 沿 C: r(t) = g(t)i +h(t)j + k(t)k 的线积分*

将矢量场通过坐标的参数代换表达为$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$

找到导函数（速度）向量$\mathop{d\mathbf{r}}/\mathop{dt}$

对参数$t$求线积分，得到

$$\int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} =\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}}\mathop{dt}.$$

在实际应用中，经常需要计算矢量场在某一分量上的积分，例如$\displaystyle\int_C M\mathop{dx}$。首先定义出只在一个分量方向上的矢量场$\mathbf{F} = M(x,y,z)\mathbf{i}$，再对曲线积分

$$\mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} =\mathbf{F}\cdot\frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}}\mathop{dt} =M(x,y,z)g’(t)\mathop{dt} = M(x,y,z)\mathop{dx}.$$

其他的分量在作内积时都变成$\mathbf{0}$了，只剩下我们所需要的这个分量。所需要的积分可以简写为

$$\int_C M(x,y,z)\mathop{dx} =\int_a^b M(g(t),h(t),k(t))g’(t)\mathop{dt}$$

不同分量上的积分组合时，可以简写为

$$\int_C M(x,y,z)\mathop{dx} +\int_C N(x,y,z)\mathop{dy} +\int_C P(x,y,z)\mathop{dz} =\int_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} + P\mathop{dz}.$$

这部分推导太简单，并且大物里也有

$$\begin{aligned} W = & \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds} & \text{The definition} \ = & \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} & \text{Vector differential form} \ = & \int_a^b \mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}} & \text{Parametric vector evaluation} \ = & \int_a^b [Mg’(t) + Nh’(t) + Pk’(t)]\mathop{dt} & \text{Parametric scalar evaluation} \ = & \int_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} + P\mathop{dz} & \text{Scalar differential form}\end{aligned}$$

定义：若$\mathbf{r}(t)$smooth地参数化连续速度场$\mathbf{F}$定义域中的曲线$C$，则沿曲线从$A=\mathbf{r}(a)$到$B=\mathbf{r}(b)$的流量为

$$\text{Flow} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds}.$$

这一积分称作流量积分，若曲线封闭，即$A=B$，则流量被称作沿曲线的环流

如果以相反的方向计算流量，$\mathbf{T}$将会反向，结果也会反向。

如果一条平面上的曲线不与它自身交叉，则称这条曲线是简单的。如果曲线起始、结束于同一点，则称这条曲线为封闭曲线或环[^8]。为了描述流体进入或离开由光滑曲线围绕的区域的程度，可以计算$C$上的线积分$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}$。只有正交方向上的量与通量相关联，可以忽略切线方向上的分量。

定义：若$C$为定义在连续矢量场$\mathbf{F} = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j}$定义域平面内的光滑曲线，且$\mathbf{n}$为指向外部的$C$的单位法向量，则$\mathbf{F}$穿过$C$的通量为

$$\text{Flux of }\mathbf{F}\text{ acoss } C =\int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\mathop{ds}.$$

要计算通量，首先要找到单位法向量，可以通过单位切向量$\mathbf{T}$与垂直于平面的单位向量$\mathbf{k}$作叉乘来得到。但是，叉乘的先后顺序与曲线的环流方向有关。

在逆时针的条件下，法向量为

$$\mathbf{n} =\mathbf{T}\times\mathbf{k} =\left( \frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}\mathbf{i} + \frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}}\mathbf{j}\right)\times\mathbf{k} =\frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}}\mathbf{i} -\frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}\mathbf{j}.$$

矢量场为$\mathbf{F} = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j}$，则

$$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =M(x,y)\frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}} -N(x,y)\frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}.$$

则有

$$\int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\mathop{ds} =\int_C \left(M\frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}} -N\frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}\right)\mathop{ds} =\oint\limits_C M\mathop{dy} - N\mathop{dx}.$$

（环路积分号上还有个箭头符号，没打出来）

[^1]: Vector Fields[^2]: Circulation[^3]: Flux[^4]: forward direction[^5]: Flow[^6]: Simple[^7]: Closed[^8]: loop