引出：由于随机过程 x(t) 持续时间无限长，由于不满足傅里叶变换中的狄利克雷条件，故无法对其做傅里叶变换，因此为了将傅里叶变换的方法应用于随机过程，必须要对无限长时间序列进行截断，即

\begin{equation} x_T(t)=\left\{ \begin{array}{cl} x(t), & |t|\le T\\ 0, & else \\ \end{array} \right. \end{equation}

当截断区间 T 为有限值时，截取函数 x_T(t) 满足傅里叶变换中的狄利克雷条件，对其做FT得到

\begin{align} X_X(T,w)=\int_{-\infty}^{\infty}x_T(t)e^{-jwt}dt=\int_{-T}^{T}x(t)e^{-jwt}dt \end{align}

\begin{align} x_T(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_X(T,w)e^{jwt}dw \end{align}

傅里叶变换应该满足帕塞瓦尔定理，即

\begin{align} \int_{-T}^{T}x^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X_X(T,w)|^2dw \end{align}

\Rightarrow \begin{align} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt=\frac{1}{4\pi T}\int_{-\infty}^{\infty}|X_X(T,w)|^2dw \end{align}

\Rightarrow \begin{align} \lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}E[X^2(t)]dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{E[|X_X(T,w)|^2]}{2T}dw \end{align}

上式左边为平均功率，记为 Q

\begin{align}Q&=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}E[X^2(t)]dt=A\left\langle E[X^2(t)]\right\rangle \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_X(w)dw \end{align}

其中 S_X(w) 就是随机过程的功率谱密度，即

\begin{align}S_X(w)=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}E[|X_X(T,w)|^2] \end{align}

① 功率谱密度是非负、实、偶函数

② 功率谱密度可积