之前我们对于平稳过程的研究，主要讨论了其自相关函数在时域上的性质。而这一节我们主要介绍平稳过程的自相关函数在频域上的等价描述，两者之间的联系就是傅里叶变换。首先了解一些概念。

设信号 x ( t ) x(t) x(t) 是时间的函数， t ∈ R t\in\mathbb{R} t∈R ，满足狄利克雷条件，且 ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty|x(t)|{\rm d}tX(t):−∞X(t)} 的平均功率的谱表达式。

谱密度 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 也是描述平稳过程 { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)} 的统计性质的重要的数字特征之一。

定理： S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 是 ω \omega ω 的实函数，并且是非负的偶函数。

我们利用 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 和 ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 |F_X(\omega,T)|^2 ∣FX​(ω,T)∣2 的关系来证明这个结论 S X ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 ]   . S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \ . SX​(ω)=T→∞lim​2T1​E[∣FX​(ω,T)∣2] . 首先证明 ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 = F X ( ω , T ) F X ( − ω , T ) \left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)F_X(-\omega,T) ∣FX​(ω,T)∣2=FX​(ω,T)FX​(−ω,T) 也是 ω \omega ω 的实函数，并且是非负的偶函数。

因为 F X ( ω , T ) F_X(\omega,T) FX​(ω,T) 是一个复值函数，其共轭为 F X ( ω , T ) ‾ = ∫ − T T X ( t ) e − i ω t d t ‾ = ∫ − T T x ( t ) e i ω t d t = F X ( − ω , T )   , \overline{F_X(\omega,T)}=\overline{\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t}=\int_{-T}^T x(t)e^{i\omega t} {\rm d}t=F_X(-\omega,T) \ , FX​(ω,T)​=∫−TT​X(t)e−iωtdt​=∫−TT​x(t)eiωtdt=FX​(−ω,T) , 又因为一个复数的模的平方一定是非负实数，且可以表示为该复数与其共轭复数的乘积，所以 ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 = F X ( ω , T ) F X ( ω , T ) ‾ = ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 = F X ( ω , T ) F X ( − ω , T )   . \left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)\overline{F_X(\omega,T)}=\left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)F_X(-\omega,T) \ . ∣FX​(ω,T)∣2=FX​(ω,T)FX​(ω,T)​=∣FX​(ω,T)∣2=FX​(ω,T)FX​(−ω,T) . 从而容易得出 ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 |F_X(\omega,T)|^2 ∣FX​(ω,T)∣2 也是关于 ω \omega ω 的偶函数的结论。

因为 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 是 ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 |F_X(\omega,T)|^2 ∣FX​(ω,T)∣2 的均值的极限，所以 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 也必是 ω \omega ω 的实函数，并且是非负的偶函数。

定理（维纳-辛钦公式）：功率谱密度 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 和自相关函数 R X ( τ ) R_X(\tau) RX​(τ) 是一组傅里叶变换对， S X ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R X ( τ ) e − i ω τ d τ   , R X ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S X ( ω ) e i ω t d ω   . \begin{aligned} &S_X(\omega)=\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau)e^{-i\omega \tau}{\rm d}\tau \ , \\ &R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega \ . \end{aligned} ​SX​(ω)=∫−∞∞​RX​(τ)e−iωτdτ ,RX​(τ)=2π1​∫−∞∞​SX​(ω)eiωtdω .​

证明： S X ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∣ F X ( ω , T ) ∣ 2 ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∣ ∫ − T T X ( t ) e − i ω t d t ∣ 2 ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∫ − T T X ( t ) e − i ω t d t ∫ − T T X ( s ) e − i ω s d s ‾ ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∫ − T T ∫ − T T X ( t ) X ( s ) e − i ω ( t − s ) d t d s ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∫ − T T R X ( t − s ) e − i ω ( t − s ) d t d s = τ 1 = t + s τ = t − s lim ⁡ T → ∞ ∫ − 2 T 2 T ( 1 − ∣ τ ∣ 2 T ) R X ( τ ) e − i ω τ d τ \begin{aligned} S_X(\omega)&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t\right|^2\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t\overline{\int_{-T}^T X(s)e^{-i\omega s} {\rm d}s}\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\int_{-T}^T\int_{-T}^T X(t)X(s)e^{-i\omega(t-s)} {\rm d}t {\rm d}s\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\int_{-T}^T R_X(t-s)e^{-i\omega(t-s)} {\rm d}t {\rm d}s\\ &\xlongequal[\tau_1=t+s]{\tau=t-s}\lim_{T\to\infty}\int_{-2T}^{2T}\left(1-\frac{|\tau|}{2T}\right) R_X(\tau)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau\\ \end{aligned} SX​(ω)​=T→∞lim​2T1​E[∣FX​(ω,T)∣2]=T→∞lim​2T1​E⎣⎡​∣∣∣∣∣​∫−TT​X(t)e−iωtdt∣∣∣∣∣​2⎦⎤​=T→∞lim​2T1​E[∫−TT​X(t)e−iωtdt∫−TT​X(s)e−iωsds​]=T→∞lim​2T1​E[∫−TT​∫−TT​X(t)X(s)e−iω(t−s)dtds]=T→∞lim​2T1​∫−TT​∫−TT​RX​(t−s)e−iω(t−s)dtdsτ=t−s τ1​=t+s​T→∞lim​∫−2T2T​(1−2T∣τ∣​)RX​(τ)e−iωτdτ​ 定义 R X ( τ , T ) = { ( 1 − ∣ τ ∣ 2 T ) R X ( τ )   , ∣ τ ∣ ≤ 2 T   , 0   , ∣ τ ∣ > 2 T   , R_X(\tau,T)=\left\{\begin{array}{ll} \left(1-\dfrac{|\tau|}{2T}\right) R_X(\tau) \ , & |\tau|\leq 2T \ , \\ 0 \ , & |\tau|>2T \ , \end{array}\right. RX​(τ,T)=⎩⎨⎧​(1−2T∣τ∣​)RX​(τ) ,0 ,​∣τ∣≤2T ,∣τ∣>2T ,​ 则有 lim ⁡ T → ∞ R X ( τ , T ) = R X ( τ ) \displaystyle\lim_{T\to\infty}R_X(\tau,T)=R_X(\tau) T→∞lim​RX​(τ,T)=RX​(τ) ，于是 S X ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ ∫ − ∞ ∞ R X ( τ , T ) e − i ω τ d τ = ∫ − ∞ ∞ lim ⁡ T → ∞ R X ( τ , T ) e − i ω τ d τ = ∫ − ∞ ∞ R X ( τ ) e − i ω τ d τ   . S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau,T)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau=\int_{-\infty}^\infty\lim_{T\to\infty}R_X(\tau,T)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau=\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau \ . SX​(ω)=T→∞lim​∫−∞∞​RX​(τ,T)e−iωτdτ=∫−∞∞​T→∞lim​RX​(τ,T)e−iωτdτ=∫−∞∞​RX​(τ)e−iωτdτ . 反之由傅里叶逆变换的定义得证。

推论：由于 R X ( τ ) R_X(\tau) RX​(τ) 和 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 都是实偶函数，所以利用欧拉公式可以将维纳-辛钦公式改写成 S X ( ω ) = 2 ∫ 0 ∞ R X ( τ ) cos ⁡ ω τ d τ   , R X ( τ ) = 1 π ∫ 0 ∞ S X ( ω ) cos ⁡ ω τ d ω   . \begin{aligned} &S_X(\omega)=2\int_{0}^\infty R_X(\tau)\cos\omega\tau{\rm d}\tau \ , \\ &R_X(\tau)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty S_X(\omega)\cos\omega\tau{\rm d}\omega \ . \end{aligned} ​SX​(ω)=2∫0∞​RX​(τ)cosωτdτ ,RX​(τ)=π1​∫0∞​SX​(ω)cosωτdω .​ 推论：由于 R X ( τ ) R_X(\tau) RX​(τ) 和 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 都是实偶函数，所以 ∫ − ∞ ∞ S X ( ω ) e − i ω t d ω = ∫ − ∞ ∞ S X ( ω ) e i ω t d ω = 2 π R X ( τ )   . \int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{-i\omega t}{\rm d}\omega=\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega=2\pi R_X(\tau) \ . ∫−∞∞​SX​(ω)e−iωtdω=∫−∞∞​SX​(ω)eiωtdω=2πRX​(τ) . 即 R X ( τ ) R_X(\tau) RX​(τ) 的傅里叶变换为 S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) ， S X ( ω ) S_X(\omega) SX​(ω) 的傅里叶变换为 2 π R X ( τ ) 2\pi R_X(\tau) 2πRX​(τ) 。

维纳-辛钦公式也称为平稳过程自相关函数的谱表达式，它揭示了从时域描述平稳过程 { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)} 的统计规律和从频域描述 { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)} 的统计规律之间的联系。

关于 δ \delta δ 函数的定义和性质，我们在这里只做简单介绍，详细内容可以参考《复变函数与积分变换》课程内容。 δ \delta δ 函数是单位冲激函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的简称，它是一个广义函数，狄拉克给出的定义为 { δ ( t ) = 0   , t ≠ 0   . ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1   . \left\{ \begin{array}{ll} \delta(t)=0 \ , \quad t\neq0 \ . \\ \\ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\delta(t){\rm d}t=1 \ . \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​δ(t)=0 ,t​=0 .∫−∞∞​δ(t)dt=1 .​ 上述表达式不规定 δ δ δ 函数在 0 0 0 点的取值，是因为这个值无法严谨地表述出来，不能笼统的定义为正无穷或某一常数，并且该取值大小是由第二个积分式决定的，因此只需限定取值为 0 0 0 的区域即可。

从概念上理解， δ δ δ 函数指的是除了 0 0 0 以外的点的函数值都等于 0 0 0 ，而其在整个定义域上的积分等于 1 1 1 的函数。下面我们不予证明地给出 δ \delta δ 函数的基本性质。

定理：若函数 f ( τ ) f(\tau) f(τ) 在 τ = 0 \tau=0 τ=0 处连续的，则有： ∫ − ∞ ∞ δ ( τ ) f ( τ ) d τ = f ( 0 )   . \int_{-\infty}^\infty\delta(\tau)f(\tau){\rm d}\tau=f(0) \ . ∫−∞∞​δ(τ)f(τ)dτ=f(0) . 推论：若函数 f ( τ ) f(\tau) f(τ) 在 τ = τ 0 \tau=\tau_0 τ=τ0​ 处连续的，则有： ∫ − ∞ ∞ δ ( τ − τ 0 ) f ( τ ) d τ = f ( τ 0 )   . \int_{-\infty}^\infty\delta(\tau-\tau_0)f(\tau){\rm d}\tau=f(\tau_0) \ . ∫−∞∞​δ(τ−τ0​)f(τ)dτ=f(τ0​) . 定理：以下两组傅里叶变换对成立： ∫ − ∞ ∞ δ ( τ ) e − i ω τ d τ = 1 ⟷ δ ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ 1 × e i ω τ d ω   . \int_{-\infty}^\infty\delta(\tau)e^{-i\omega\tau}{\rm d}\tau=1 \quad \longleftrightarrow \quad \delta(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty1\times e^{i\omega \tau}{\rm d}\omega \ . \\ ∫−∞∞​δ(τ)e−iωτdτ=1⟷δ(τ)=2π1​∫−∞∞​1×eiωτdω .

∫ − ∞ ∞ 1 × e − i ω τ d τ = 2 π δ ( ω ) ⟷ 1 = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ 2 π δ ( ω ) e i ω τ d ω   . \int_{-\infty}^\infty1\times e^{-i\omega\tau}{\rm d}\tau=2\pi\delta(\omega) \quad \longleftrightarrow \quad 1=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty2\pi\delta(\omega)e^{i\omega\tau}{\rm d}\omega \ . ∫−∞∞​1×e−iωτdτ=2πδ(ω)⟷1=2π1​∫−∞∞​2πδ(ω)eiωτdω .

白噪声的定义：设 { X ( t ) ,   t ∈ T } \{X(t),\,t\in T\} {X(t),t∈T} 是零均值随机过程，满足 E [ X ( t ) ] 2 = σ 2 < ∞ {\rm E}[X(t)]^2=\sigma^2X(t),t∈T} 是零均值平稳过程，如果该过程的谱密度是一个正的常数，即 S X ( ω ) ≡ S 0 > 0 S_X(\omega)\equiv S_0>0 SX​(ω)≡S0​>0 ，则称该随机过程是白噪声过程。

这里我们只需要验证一下自相关函数是否满足对任意 s ≠ t s\neq t s​=t 都有 E ( X ( t ) X ( s ) ) = 0 {\rm E}(X(t)X(s))=0 E(X(t)X(s))=0 的条件。

利用谱密度求得的白噪声的自相关函数为 R X ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S X ( ω ) e i ω t d ω = S 0 2 π ∫ − ∞ ∞ e i ω t d ω = S 0 δ ( τ )   . R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega=\frac{S_0}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}{\rm d}\omega=S_0\delta(\tau) \ . RX​(τ)=2π1​∫−∞∞​SX​(ω)eiωtdω=2πS0​​∫−∞∞​eiωtdω=S0​δ(τ) . 可以推出这个过程在 t 1 ≠ t 2 t_1\neq t_2 t1​​=t2​ 时有 R X ( t 1 − t 2 ) = S 0 δ ( t 1 − t 2 ) = 0   . R_X(t_1-t_2)=S_0\delta(t_1-t_2)=0 \ . RX​(t1​−t2​)=S0​δ(t1​−t2​)=0 . 即 X ( t 1 ) X(t_1) X(t1​) 和 X ( t 2 ) X(t_2) X(t2​) 是不相关的。所以 { X ( t ) ,   t ∈ T } \{X(t),\,t\in T\} {X(t),t∈T} 是白噪声过程。

事实上，从频域的角度给出的白噪声的定义是存在其局限性的。由于我们无法给出 δ δ δ 函数在 0 0 0 点的确定取值，所以我们无法通过谱密度函数求出这个白噪声的方差函数。这是因为理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，也就是说 R X ( 0 ) R_X(0) RX​(0) 是无限的，但这在现实世界是不可能存在的。

在随机过程和时间序列分析的研究领域中，我们仍然认为白噪声过程是一个方差有限的平稳过程。