在微分方程，尤其是一阶线性微分方程的求解过程中，经常出现求 ∫ 1 x d x \int\frac{1}{x}dx ∫x1​dx 等原函数需要加绝对值的不定积分。如果放在不定积分里，肯定毫不犹豫会加上绝对值，也就是 ∫ 1 x d x = l n ∣ x ∣ + C \int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C ∫x1​dx=ln∣x∣+C 。但是在微分方程中似乎有时候就不用加，或者老师明确说了不用考虑，参考书以及习题答案有时候也直接把绝对值去掉了。

另外，关于不定积分出来的常数 C C C ，有些书上能直接写成 C C C ，而有些书上却要先写成 e C e^C eC 之类的，最后再化为 C C C 。

对于一些较真、学得细致的同学，可能会造成一定困扰，今天就用两个例子一起来讨论讨论这些小问题。

【例】 微分方程 y y ′ ′ + 2 ( y ′ ) 2 = 0 yy''+2(y')^2=0 yy′′+2(y′)2=0 满足初始条件 y ( 0 ) = 1 , y ′ ( 0 ) = − 1 y(0)=1,y'(0)=-1 y(0)=1,y′(0)=−1 的特解是_____？

解： 首先判断出来，这是一个可降阶的二阶微分方程，然后缺少 x x x ，于是我们可以设 y ′ = p ( y ) y'=p(y) y′=p(y) ，则有 y ′ ′ = p d p / d y y''=pdp/dy y′′=pdp/dy ，代入原方程得： y p d p d y + 2 p 2 = 0 yp\frac{dp}{dy}+2p^2=0 ypdydp​+2p2=0 当 y = 0 y=0 y=0 时，代入原方程得 p = y ′ = 0 p=y'=0 p=y′=0 ，不符合初始条件，因此 y , p ≠ 0 y,p \ne 0 y,p=0 。等式两边同时除以 y y y ，得： y d p d y + 2 p = 0 y\frac{dp}{dy}+2p=0 ydydp​+2p=0 分离变量得 d p / p + 2 d y / y = 0 dp/p+2dy/y=0 dp/p+2dy/y=0 ，积分得 l n ∣ p ∣ + 2 l n ∣ y ∣ = C 1 ln|p|+2ln|y|=C_1 ln∣p∣+2ln∣y∣=C1​ ，这里有一些书上会将右边写成 l n ∣ C 1 ∣ ln|C_1| ln∣C1​∣ ，其实是为了方便最后消掉 l n ln ln 。我们可以两种方法都试一下。

先试一试正常右边写成 C 1 C_1 C1​ 的，之后同时以 e e e 为底取指数，得 e l n ( ∣ p ∣ y 2 ) = e C 1 e^{ln(|p|y^2)}=e^{C_1} eln(∣p∣y2)=eC1​ ，即 ∣ p ∣ y 2 = e C 1 |p|y^2=e^{C_1} ∣p∣y2=eC1​ ，取绝对值加上正负号 p = ± e C 1 y 2 p=\pm \frac{e^{C_1}}{y^2} p=±y2eC1​​ ，令 C 2 = ± e C 1 C_2=\pm e^{C_1} C2​=±eC1​ 可得 p = C 2 y 2 p=\frac{C_2}{y^2} p=y2C2​​ 。

如果直接令 C 2 = e C 1 C_2=e^{C_1} C2​=eC1​ 的话，由于 e C 1 e^{C_1} eC1​ 恒大于等于 0 ， C 2 C_2 C2​ 就不能叫任意常数了。有这个疑虑的同学，主要是因为没有讨论绝对值，因为有了 ± \pm ± 号，使得 C 2 C_2 C2​ 也可以取负数。

再来看看如果写成 l n ∣ C 1 ∣ ln|C_1| ln∣C1​∣ 的吧，同样以 e e e 为底，得 e l n ( ∣ p ∣ y 2 ) = C 1 e^{ln(|p|y^2)}=C_1 eln(∣p∣y2)=C1​ ，即 ∣ p ∣ y 2 = C 1 |p|y^2=C_1 ∣p∣y2=C1​ ，取绝对值得 p = ± C 1 y 2 p=\pm \frac{C_1}{y^2} p=±y2C1​​ ，令 C 2 = ± C 1 C_2=\pm C_1 C2​=±C1​ 可得 p = C 2 y 2 p=\frac{C_2}{y^2} p=y2C2​​ 。

两种最后得到的结果肯定是一样的，但是第二种可以避免因直接去掉绝对值，产生是不是不能令 C 2 = e C 1 C_2=e^{C_1} C2​=eC1​ 的困扰，但如果考虑了绝对值，就不会有这样的疑惑了。

通过本题，我们也发现了，去不去绝对值答案都一样，而且咱们书上做的题基本上都可以直接去掉绝对值的，那为什么还要讨论这个呢？

我们请往后看第 2 个例子。

【例】 求微分方程 d y d x − y 2 x = x \frac{dy}{dx}-\frac{y}{2x}=x dxdy​−2xy​=x 的通解。

解： 首先判断出这是一个一阶非齐次微分方程，直接上公式： 如果直接不管这个绝对值，有如下结果： 但实际上，如果分情况讨论，最后的结果应该是下面这样：

也就是，这个根号里面，肯定要保证是非负的，也正是因为根号的限制，去不去绝对值的结果才不一样。

可能有些同学看到这里会对自己产生一些怀疑和疑惑，请继续往后看总结。

首先，本文一个重要的参考文献是一个学长的视频，传送门。

视频当中有更为详细的讲解，不过后部分的内容感觉离考研有些远了。

前部分视频里总结了哪些需要加，哪些可以不加，我感觉这些记忆起来更混乱，还不如就每次都加。这也是我想说的观点：想拿高分，就严谨地去讨论，没什么好投机取巧的。

另外要补充的一个理解就是，微分方程的通解，并不一定能包含所有解，通解的定义只是包含了若干个相互独立的常数，也有一篇学术论文是讨论过这个的，传送门。