解一元一次不等式·教学设计

1．不等式的解集

教学内容

本节内容在教材第57—58页，本节通过回忆一般的不等式的内容探索不等式的解，从而得到不等式的解集的概念，并能将解集在数轴上表示。

教学目标

本节在介绍不等式的基础上，介绍了不等式的解集并用数轴表示，介绍了解简单不等式的方法，让学生进一步体会数形结合的作用。

知识与能力

1．使学生掌握不等式的解集的概念，以及什么是解不等式。

2．使学生育能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来，初步理解数形结合的思想。

过程与方法

1．通过回忆给学生介绍不等式的解集的概念。

2．教会学生怎样在数轴上表示不等式的解集。

情感、态度与价值观

1．通过反复的训练使学生认识到数轴的重要性，培养其数形结合的思想。

2．通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满探索性与创造性。

教学重、难点及教学突破

重点

1．认识不等式的解集的概念。

2．将不等式的解集表示在数轴上。

难点

学生对不等式的解是一个集合可能会不太理解。

教学突破

由于受方程思想的影响，学生对不等式的解集的接受和理解可能会有一定的困难，建议教师能结合简单的不等式和实际问题让学生体会不等式的解可以是一个集合，并组织学生讨论举例，加深理解。

另外，应在本节的过程中让学生能理解在数轴上表示不等式的解集，让他们熟悉数形结合的思想。

教学准备

教师准备

准备有关的练习。

学生准备

复习数轴的知识；预习课文。

教学步骤

（第1课时）

第一课时教学流程设计

教师活动

学生活动

1．通过回顾引入新课。

2．引导学生理解不等式的解集的概念。

3．让学生学会在数轴上表示不等式的解集，鼓励学生体会数形结合的思想。

4．例题选讲。

1．认真回忆，进入对新课的学习。

2．通过例子认识到不等式的解集的概念。

3．学会将不等式的解集表示在数轴上，体会数形结合的思想。

4．完成习题，巩固知识。

一、新课导入（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．回顾提问：同学们，我们已经学习了不等式。现在我们一起回顾一下什么是不等式，以及有关数轴的知识。

2．创设情景：我们现在知道了不等式的解不唯一，那么我们如何将不等式的解全部表示出来呢？这就是我们这节课要解决的问题。

1．积极回答，用自己的语言描述不等式的定义，并基本说出数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。能将有理数在数轴上表示出来。

2．认真听讲，了解本节课的目标是探索不等式的解，进入学习情景，展开对新课的学习。

二、不等式的解集（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．讲述不等式的解集的定义，引导学生观察不等式x＋2＞5，并说出－3、－2、3.5、7中哪些是不等式的解，哪些不是？

2．肯定学生的回答，给出“解不等式”的概念，并就上述例题由不完全归纳法给出不等式x＋2＞5的解集是x＞3。

3．将x＞3在数轴上表示出来，并以此图为例讲述在数轴上表示基本不等式的方法：（1）在数轴上找到3；（2）向右表示比3大的点；（3）空心点表示不含有3，所以有下图。让学生自己动手画出x≤3，并找学生上台板演。

4．就学生在黑板上的板演，指出画图应注意的事项，并让学生观察前后两图的区别。

5．给出适当的例题，巩固本节内容。

1．理解不等式解集的定义，并通过观察计算得出答案：－3、－2不是不等式x＋2＞5的解，3.5、7是不等式的解。

2．认真听讲，积极思考，在此过程中明确：研究不等式的任务是求不等式的解的过程。理解x＋2＞5，可以表示为x＞3。

3．认真听讲，明白在数轴上表示基本不等式的方法，并作出x≤3在数轴上的表示图（如下）。（有的学生可能会将3处的点画成空心后不表为实心）积极地上讲台演示。

4．结合教师的讲解，发现自己作图中存在的问题，并改正，通过对比两图的不同，发现区别是大于和小于导致图上所取的方向不同，有等号和没等号导致空心和实心的区别。

5．动手做题目。

本课总结

这节课主要学习了什么是不等式的解集，并教学生在数轴上表示不等式的解集，体会数形结合的思想。

板书设计

§ 13.2.1 不等式的解集

一、回顾复习

二、不等式的解集

1．不等式解集的概念

2．在数轴上表示不等式的解集

3．习题

问题探究与拓展活动

通过学生将不等式的解表示在数轴上，使其理解数形结合的思想。

练习设计

随堂练习设计

1．x＋1＜2的解集可记作什么？怎样在数轴上表示？

答案：x＜1，图略。

2．x＋3≥0的解集可记作什么？怎样在数轴上表示？

答案：x≥－1，图略。

3．在数轴上表示x≥5的解集。

4．若a＜b，则a＋5________b＋5，5－a________5－b，a＋3－2________b＋1。

答案：＜，＞，＜。

5．不等式2x＜15的正整数解有哪些？

答案：1、2。

个性练习设计

1．用数轴表示0.5＜x＜1.5

2．用不等式表示右图中的集合。

答案：a＜x＜b。

3．用数轴表示－3≤x＜2.5。

4．若a＜b，用＜或＞填空：

a－7________b－7；－3a________－3b。

5．在数轴上表示不等式1.25＜x≤4.6的解集。

教学探讨与反思

为了提高数学课的教学效果，教师必须使课堂教学过程符合学生的认知规律，并让学生参与到课堂教学活动中来，使他们真正成为课堂教学的主体。教师对课堂教学的设计，应着眼在为学生个性品质的优化创设最佳课堂教学环境。教师引导学生参与的是数学思维活动。

2．不等式的简单变形

教学内容

本节内容在课本第58—60页。本节主要讲述了不等式的基本性质，利用不等式的基本性质进行不等式的变形，并能通过变形解决一些简单的不等式的求解问题。

教学目标

本节通过介绍不等式的变形，对解不等式作了理论上的准备，并引导学生体会不等式与方程的区别。

知识与能力

1．通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质。

2．启发学生在不的概念式的变形中分辨情况，正确应用。

3．教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式，并指导学生掌握基本方法。

4．在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系。

过程与方法

1．通过回顾一元一次方程的变形进入对不等式的变形的讨论。

2．通过具体的实例引导学生探索不等式的基本性质（加法性质）。

3．引导学生发现不等式变形与方程变形的联系，从而引导学生概括不等式另外的性质。

4．通过对不等式的性质的讨论，应用其解简单的不等式。

5．练习巩固，能将本节内容与上节内容联系起来。

情感、态度与价值观

1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力。

2．通过在教学中发挥学生的主体作用，加深在学习中“转化”思想的渗透。

3．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。

教学重、难点及教学突破

重点

1．掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。

2．对简单的不等式进行求解。

难点

正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。

教学突破

由于这一节探索性较强，所以建议教师在这一节中能让学生自主探索或联系方程的基本变形进行归纳。在这一过程中关键是启发学生注意在不等式的变形中分辨情况，正确应用。

在探索简单不等式的解法时要注意不等式性质的应用，引导和鼓励学生自主探索一元一次不等式的一般解法，并注意在教学过程中“转化”思想的渗透。

教学准备

教师准备

1．第一课时准备实例用的天平。

2．第二课时准备不等式性质的综述图。

3．准备适当的练习。

学生准备

1．课前回忆有关方程的变形的知识。

2．预习课本，对相关知识有初步认识。

教学步骤

（第1课时）

第一课时教学流程设计

教师活动

学生活动

1．带领学生复习有关方程的变形的内容，使学生能对变形的思想有一定的认识。

2．引导学生观察实例，讨论、总结并概括出不等式的几条性质，指导他们体会这些性质的作用。

3．总结不等式的几条性质，让学生自己实践，体会不等式的性质。

1．回忆所学知识，巩固、理解和记忆，并能在回忆的基础上考虑怎样对不等式进行变形。

2．由对方程的变形的启示以及具体的事例能够概括出不等式的简单性质。并对其有初步的了解。

3．通过教师的讲解，理解不等式的性质初步体会其应用。

一、导入新课（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．引导学生回忆已学过的一元一次方程的性质和变形。

2．肯定学生的回答，创设情景：我们能不能将方程的变形方法运用在不等式中呢？

1．仔细回忆，可能说出方程的简单变形有：等式两边同时加相同的数方程不变，同乘一个不为零的数方程不变。

2．明确本节目标是：探索不等式的简单变形。

二、探索不等式的性质及变形（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．在讲台上演示课本第58页图13.2.3的实验，引导学生分组讨论，分析实验结果，并鼓励学生发表自己的见解。

2．肯定学生的发言，引导学生结合用不等式表示不等量关系，从而归纳试验的本质，得出不等式的性质1。（在此过程中，可提醒学生类比方程加法的变形）

3．肯定学生的回答，总结出不等式的性质1，并引导学生考虑不等式两边同乘以或除以一个不为零的数不等号的方向是否不变？

4．不急于总结学生的答案，先让学生完成课本第59页“试一试”的题目，然后让学生自己检验对上述问题的结论。

5．总结学生的陈述，并得出不等式的性质2和性质3：如果a＞b，且c＞0，那么，ac＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么，ac＜bc。让学生观察此性质是否与方程的性质相同。

1．认真观察老师演示的实验，积极讨论，通过观察讨论，发现天平两端同时加相同重量的砝码后天平的倾斜度不变，并积极发表自己的看法。

2．认真思考，将a比b重表示为a＞b，天平两端加重物c，分别表示为a＋c、b＋c，然后由天平的倾斜度不变得到a＋c＞b＋c。对比前后两不等式可能归纳出：如果a＞b那么a＋c＞b＋c。

3．把握不等式的性质1，并类比方程的变形，可能猜测不等号的方向不变。

4．认真完成“试一试”的内容，通过计算发现当不等式两端同乘以一个正数时不等号方向不变，同乘以一个负数时不等号方向改变。

5．认真听讲，体会不等式的性质，并通过观察对比发现：不等式与方程的性质不同在于不等号的方向会随着所乘数的正负有所改变。

教学步骤

（第2课时）

第二课时教学流程设计

教师活动

学生活动

1．带领学生复习有关不等式的变形的内容，使学生能进一步认识不等式的变形，为本节课作好准备。

2．引导学生完成对例题的分析和解答使学生理解对一些简单的不等式的求解。

1．回忆所学知识，巩固理解和记忆，并能在回忆的基础上进一步加深对不等式的变形的理解。

2．通过亲自动手和讨论，完成对例题的分析和解答，理解简单不等式的解。

一、导入新课（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．复习回顾：不等式的性质。

2．肯定学生的答案，并指出本节课的内容：利用不等式的性质变形。

1．仔细回忆，积极回答：不等式两边同时加上（减去）同一个数不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（除以）一个正数（负数）不等号方向不变（相反）。

2．明确本节课的目的，开始对新课的探索。

二、不等式性质的应用（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．指导学生完成课本第59页例1，找学生上台板演，提示学生解不等式的过程就是将不等式变形成x＞a或x＜a的形式。

2．对学生的板演作出评价，指出学生在解题中可能出现的错误。

3．引导学生完成第60页例2。

4．总结，并带领学生完成课本第60页的练习。

1．积极思考，利用不等式的性质完成例1。对于例1（2），部分学生可能出现如下做法：3x－3x＜2x－3x－3，即0＜－x－3；－x＞－3，从而得出x＞－3。

2．听取教师的意见，进一步理解不等式的性质3的特殊性。

3．认真完成例2，加深对不等式性质的掌握。

4．完成练习，巩固所学的知识。

本课总结

这节课主要学习了不等式的三个基本性质，应用基本性质作出不等式的变形，以及对简单的不等式的解法进行了探讨。

板书设计

§ 13.2.1 不等式的解集

一、不等式的性质

1．不等式的性质1：如果a＞b，那么，a＋c＞b＋c，a－c＞b－c

2．不等式的性质2：如果a＞b，且c＞0，那么，ac＞bc

3．不等式的性质3：如果a＞b，且c＜0，那么，ac＜bc

二、解简单的不等式

问题探究与拓展活动

利用不等式的变形解简单的不等式，并在此过程中理解不等式与方程的不同点。

练习设计

随堂练习设计

1．解出x＋2＜5的解集并在数轴上表示。

答案：x＜3，图略。

2．5≥x＋3≥2的解集是什么？怎样在数轴上表示？

答案：2≥x≥－1，图略。

3．一个数与6的差不大于2这个数的集合是________，在数轴上怎样表示？

答案：x－6≤2，即x≤8。

4．求解2x－10＞0。

答案：x＞5。

5．在数轴上表示不等式x－1＞4的解集。

个性练习设计

1．代数式－2／3＋5的值，在x________时，是正数；在x________时，是负数。

答案：x＜7.5；x＞7.5。

2．若2x小于－5，则－3x________5。

答案：＞。

3．若代数式2x／5－1的值不小于－3，则x的取值范围是________。

答案：x≥－5。

4．x－10＞0的解集是________。

教学探讨与反思

教师引导学生参与数学活动，在此过程中学生所获得的不仅仅是数学知识，更重要的是使他们在潜移默化中受到归纳与类比两种创造性思维形式的训练。

3．解一元一次不等式

教学内容

本节内容在课本第61—63页。本节主要介绍了什么是一元一次不等式，以及讲述了怎样解一元一次不等式，并利用一元一次不等式进行解决实际问题。

教学目标

本节介绍了解一元一次不等式的方法，并进一步引导学生体会数形结合思想。

知识与能力

1．体会解不等式的步骤，体会数学学习中比较和转化的作用。

2．用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握。

3．在解决实际问题中能够体会将文字叙述转化成数学，学会用数学语言表示实际中的数量关系。

过程与方法

1．介绍一元一次不等式的概念。

2．通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式的性质的利用导入对解不等式的讨论。

3．引导学生体会通过综合利用不等式的概念和基本性质解不等式的方法。

4．指导学生将文字表达转化为数学语言，从而解决实际问题。

5．练习巩固，能将本节内容与上节内容联系起来。

情感、态度与价值观

1．在教学过程中引导学生体会数学中的比较和转化思想。

2．通过类比一元一次方程的解法，从而更好地掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义思想。

3．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。

4．通过本节的学习让学生体会不等式解集的奇异的数学美。

教学重、难点及教学突破

重点

1．掌握一元一次不等式的解法。

2．掌握解一元一次不等式的阶梯步骤，并能准确求出解集。

难点

能将文字叙述转化为数学语言，从而完成对应用问题的解决。

教学突破

教材中没有给出解法的一般步骤，所以在教学中要注意让学生经历将所给的不等式转化为简单不等式的过程，并通过学生的讨论、交流使学生经历知识的形成和巩固过程。在解不等式的过程中，建议教师与上节课联系起来，重视将解集表示在数轴上，从而指导学生体会用数形结合的方法解决问题。在对应用问题的研究中，鼓励学生用多种方法求解，从而锻炼他们活跃的思维。

教学准备

教师准备

1．第一课时前准备适当的练习。

2．第二课时前准备多种方法解问题二的幻灯片。

3．准备适当的练习。

学生准备

1．课前回忆有关一元一次方程的求解的知识。

2．第二节课前复习有关解一元一次不等式的内容。

教学步骤

（第1课时）

第一课时教学流程设计

教师活动

学生活动

1．带领学生回顾有关不等式的基本性质，导入新课。

2．引入一元一次不等式的概念，并通过例子介绍一元一次不等式的解法。

3．引导学生分析、讨论、解决问题，从而使学生进一步理解一元一次不等式的解法。

4．指导学生练习巩固。

1．认真回忆有关不等式的性质的内容，做到进一步的理解。

2．理解一元一次不等式，并能初步掌握其解法。

3．通过自己动手操作，掌握一元一次不等式的解法。

4．练习巩固。

一、导入新课（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．引导学生回忆不等式的性质，并说出解不等式的关键在哪里。

2．总结学生的回答，指出一元一次不等式的概念，让学生举例。

3．导入：通过上节课的学习，我们已经掌握了解简单不等式的方法。这节课我们来共同探讨解一元一次不等式的方法。

1．认真思考，用自己的语言描述不等式的性质，说出解不等式的关键在于将不等式化为x＜a或x＞a的形式。

2．举出一元一次不等式的例子：5x＋6≤4，7x＋10＞5。

3．明确本课目标，进入对新课的学习。

二、探索一元一次不等式的解法（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．引导学生观察课本第61页例3，教师给出（1）的解法，说明：解不等式就是利用不等式的三条基本性质对不等式进行变形的过程。提醒学生注意解题的步骤，鼓励学生完成对（2）得解答，并找学生上讲台演示。

2．分析学生的解答，指出解一元一次不等式的步骤，并提醒学生在解不等式中常见的错误：不等式两边同乘（除）一个负数不等号反向。

3．鼓励学生讨论完成课本第61页的例4。提示学生：首先将简单的文字表达转化成数学语言。告诉学生判断一个不等式是否是一元一次不等式要先将不等式化成最简形式，再按定义观察。

4．补充适当的练习，以巩固学生所学。

1．仔细观察教师的示范，理解用不等式的性质解不等式的原理，并掌握用数轴表示不等式的解，完成例3（2）：2(5x＋3)≤x－3(1－2x)解：原不等式等价于：10x＋6≤x－3＋6x

即：3x≤9x≤3。

2．听取教师的提醒，检查自己的解答过程，弥补不足，进一步体会解一元一次不等式的方法。

3．认真完成对例题的解答，在教师的提示下找到不等量关系，列出不等式：(x＋4)／3－(3x－1)／2＞1，并进一步将其化为一元一次不等式，进而求解。

4．认真完成练习，巩固所学。

教学步骤

（第2课时）

第二课时教学流程设计

教师活动

学生活动

1．带领学生回顾有关一元一次不等式的解法，导入新课。

2．通过例题介绍利用一元一次不等式解决实际问题。

3．练习巩固。

1．认真回忆有关一元一次不等式的解法的内容。

2．理解一元一次不等式的解法，掌握利用其解决实际问题的方法。

3．练习巩固。

一、导入新课（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．复习回顾：求解一元一次不等式的方法。

2．总结学生的回答，并指出：这节课我们就来共同探讨一下怎样将不等式利用在实际中。（引入新课）

1．认真思考，在思考的过程中进一步加深对解一元一次不等式的了解，积极回答解不等式的要点。

2．认真听取老师的总结，考虑怎样在实际中利用一元一次不等式，从而将注意力转移到对新内容的学习。

二、探索一元一次不等式的解法2（约 分钟）

教师活动

学生活动

1．引导学生完成课本第62页练习3。组织学生讨论，并提示学生要将文字叙述转化为数学语言就需要将叙述中的不等量关系找到，然后用不等式表示出来。鼓励学生上讲台演示解题过程。

2．分析学生的解答，指出：利用不等式解决问题的过程就是发现问题中的不等量关系并加以利用的过程。

3．鼓励学生讨论完成课本第62页的问题2。组织学生讨论，指出本题有多种解法，并给学生加以提示，鼓励学生用尽量多的方法完成本题，并鼓励学生将讨论的意见发表出来。

4．补充适当的练习，以巩固所学。

1．认真思考，仔细讨论，通过分析，发现不等量关系式：工作量≥600。然后用数学式表示出工作量，从而找到不等式120＋(10－2)x≥600，并解出不等式，积极地上讲台演示。

2．认真听取教师总结，理解用不等式表示数量间的不等关系是利用不等式解决实际问题的关键所在。

3．认真讨论，可能发现除了教师指出的方法外还有别的方法：（1）全答对200分，每答错一个扣除10＋5＝15分，设答错x道则有：15x≤200－80。（2）从全答错的方面考虑也可得到结果。积极发表自己的见解。

4．认真完成练习，巩固所学。

本课总结

本节介绍了一元一次不等式的概念，利用不等式的性质变形不等式求解不等式，以用不等式解决实际中简单的不等量关系问题。

板书设计

§ 13.2 解一元一次不等式

一、一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，且未知数的式子是整式，未知数的次数是1的不等式

二、解一元一次不等式

例题：…………

三、利用解一元一次不等式解决实际问题

问题探究与拓展活动

在不等式的变形中要注意不等式性质3的正确使用，提醒学生避免不等式变形中常见的错误（去分母、去括号、移项中的错误）。

练习设计

随堂练习设计

1．解不等式：10－3(x－6)≤5，并将不等式的解表示在数轴上。

答案：x≥23／3，表示略。

2．解不等式x／3＞5－(x－2)／3，并将不等式的解表示在数轴上。

3．下列各式中是一元一次不等式的是________。

A：2x－y＞5； B：x＋2＞18；

C：2／x－5＜1；D：(x＋4)／2＜2。

答案：D。

4．不等式－(x＋1)＜2的解集是________。

答案：x＞－3。

5．下列不等式中解集不同的是________。

A：5x＞10与13x＞26；B：2x－14＜x＋16与x＜15；

C：x＜－2与－4x＞8；D：x－7＜2x＋8与x＞15。

答案：D。

个性练习设计

1．在解不等式：(2x－7)／3≤(2＋11x)／6的过程中，（1）去分母得2x－7≤4＋22x，（2）移项得2x－22x≤4＋7，（3）合并得－20x≤11（4）解得：x≤－11／20。其中错误的是________。

A：（1）B：（2）C：（3）D：（4）。

答案：D。

2．x取何值时代数式3x＋7的值（1）小于4；（2）不小于5。

答案：（1）x＜－1；（2）x≥－2／3。

3．－5x＋(x＋3)＜9的整数解有________个。

4．一个两位数，其个位数字比十位数大5，已知这个两位数不小于20，不大于50，求这个两位数。

答案：27或38或49。

5．用炸药爆破时，若导火索燃烧的平均速度是每分钟0.8厘米，人跑的速度是每秒钟5米，为了使点导火线的人能在爆炸时跑到200米以外的安全区，问导火索的长度应至少是多少厘米？

教学探讨与反思

1．本节介绍了用不等式解决实际问题，所以在此过程中应通过学生从多个方面探索解法，从而能灵活地利用不等式解决问题。

2．通过组织学生分析、讨论，各抒己见，激发学生的学习兴趣，同时强化学生思维的灵敏性和多面性。

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