一、刚体的惯性张量 在单自由度系统中，常常要考虑刚体的质量。对于定轴转动的情况，经常用到惯量矩这个概念。对一个可以在三维空间自由运动的刚体来说，可能存在无穷个旋转轴。在一个刚体绕任意轴做旋转运动时，我们需要一种能够表征刚体质量分布的方法。在这里，我们需要引入惯性张量，它可以被看做是对一个物体惯量的广义度量。

现在我们定义一组参量，给出刚体质量在参考坐标系中分布的信息。下图表示一个刚体，坐标系建立在刚体上。惯性张量可以在任何坐标系中定义，但一般在固连于刚体上的坐标系中定义惯性张量。 坐标系{A}中的惯性张量可用3*3矩阵表示如下： A I = [ I x x − I x y − I x z − I x y I y y − I y z − I x z − I y z I z z ] {^{A}\textrm{I}=\begin{bmatrix} I_{xx} ;-I_{xy} ;-I_{xz} \\ -I_{xy} ;I_{yy} ;-I_{yz} \\ -I_{xz} ;-I_{yz} ; I_{zz} \end{bmatrix}} AI=⎣⎡​Ixx​−Ixy​−Ixz​​−Ixy​Iyy​−Iyz​​−Ixz​−Iyz​Izz​​⎦⎤​ 矩阵中各元素为： I x x = ∫ ∫ ∫ V ( y 2 + z 2 ) ρ d v I_{xx}=\int\int\int_{V}(y^2+z^2)\rho dv Ixx​=∫∫∫V​(y2+z2)ρdv I y y = ∫ ∫ ∫ V ( x 2 + z 2 ) ρ d v I_{yy}=\int\int\int_{V}(x^2+z^2)\rho dv Iyy​=∫∫∫V​(x2+z2)ρdv I z z = ∫ ∫ ∫ V ( x 2 + y 2 ) ρ d v I_{zz}=\int\int\int_{V}(x^2+y^2)\rho dv Izz​=∫∫∫V​(x2+y2)ρdv I x y = ∫ ∫ ∫ V ( x y ) ρ d v I_{xy}=\int\int\int_{V}(xy)\rho dv Ixy​=∫∫∫V​(xy)ρdv I x z = ∫ ∫ ∫ V ( x z ) ρ d v I_{xz}=\int\int\int_{V}(xz)\rho dv Ixz​=∫∫∫V​(xz)ρdv I y z = ∫ ∫ ∫ V ( y z ) ρ d v I_{yz}=\int\int\int_{V}(yz)\rho dv Iyz​=∫∫∫V​(yz)ρdv 式中刚体由单元体 d v dv dv组成，单元体密度为 ρ \rho ρ，每个单元体的位置由矢量 A P = [ x y z ] T ^{A}\textrm{P}=\begin{bmatrix} x;y;z \end{bmatrix}^{T} AP=[x​y​z​]T确定。 二、惯性张量的物理意义 当刚体绕定点转动时，刚体的动量矩为： L = ∑ m i r i × ( w × r i ) L=\sum m_{i}r_{i}\times (w\times r_{i}) L=∑mi​ri​×(w×ri​) 将上式展开写成矩阵的形式是： [ L x L y L z ] = [ ∑ m i ( y i 2 + z i 2 ) − ∑ m i x i y i − ∑ m i x i z i − ∑ m i x i y i ∑ m i ( x i 2 + z i 2 ) − ∑ m i y i z i − ∑ m i x i z i − ∑ m i y i z i ∑ m i ( x i 2 + y i 2 ) ] [ w x w y w z ] \begin{bmatrix} L_{x}\\ L_{y}\\ L_{z} \end{bmatrix}= {\begin{bmatrix} \sum m_i(y_i^2+z_i^2) ;-\sum m_ix_iy_i ;-\sum m_ix_iz_i \\ -\sum m_ix_iy_i ;\sum m_i(x_i^2+z_i^2) ;-\sum m_iy_iz_i \\ -\sum m_ix_iz_i ;-\sum m_iy_iz_i ; \sum m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix}}\begin{bmatrix} w_x\\ w_y\\ w_z \end{bmatrix} ⎣⎡​Lx​Ly​Lz​​⎦⎤​=⎣⎡​∑mi​(yi2​+zi2​)−∑mi​xi​yi​−∑mi​xi​zi​​−∑mi​xi​yi​∑mi​(xi2​+zi2​)−∑mi​yi​zi​​−∑mi​xi​zi​−∑mi​yi​zi​∑mi​(xi2​+yi2​)​⎦⎤​⎣⎡​wx​wy​wz​​⎦⎤​ 右侧3×3矩阵中的求和形式与第一部分中的积分形式是等价的。 L i {L_i} Li​表示刚体绕定点旋转时对每个分坐标轴的动量矩。

参考文献： John Craig 《机器人学导论》 机械工业出版社 2006 洪国维 《惯性张量的物理意义》